Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

45
íîñòü ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, îïèñûâàþùèõ ýâîëþöèþ ñèñòåìû ïðè ðàçëè÷-
íûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, îáðàçóåò ôàçîâûé ïîðòðåò ñèñòåìû.
Íà ðèñóíêå 2.2 ïðèâåäåí ôàçîâûé ïîðòðåò ìàÿòíèêà. Êàðòèíà ïåðèî-
äè÷íà ïî îñè
q
ñ ïåðèîäîì
p
2 . Â îáëàñòè ïðèìåíèìîñòè óðàâíåíèÿ (2.2)
ôàçîâûå òðàåêòîðèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ
nn,2,0 pqq ±==
&
-öåëîå ÷èñëî. Ýòè êðèâûå ñîîòâåòñòâóþò ãàðìîíè÷åñêèì
êîëåáàíèÿì, ÷àñòîòà êîòîðûõ íå çàâèñèò îò àìïëèòóäû. Ñ ðîñòîì àìïëè-
òóäû êîëåáàíèé òðàåêòîðèè ïðèíèìàþò ýëëèïòè÷åñêóþ ôîðìó è ïåðèîä
êîëåáàíèé ðàñòåò. Åñëè ýíåðãèÿ êîëåáàíèé ïðåâûøàåò âåëè÷èíó lg /2 , òî
êîëåáàíèÿ ïåðåõîäÿò âî âðàùåíèÿ âîêðóã îñè. Òðàåêòîðèè, òî÷íî ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ýòîìó çíà÷åíèþ ýíåðãèè, ïðîõîäÿò ÷åðåç âåðõíåå, íåóñòîé÷èâîå
ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ è ïåðèîä êîëåáàíèé ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ýòà
òðàåêòîðèÿ ðàçäåëÿåò îáëàñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ñ ðàçëè÷íûì õàðàê-
òåðîì ïîâåäåíèÿ (êîëåáàíèÿ è âðàùåíèå) è ÿâëÿåòñÿ ñåïàðàòðèñîé. Ñòðåëêè
íà ðèñóíêå óêàçûâàþò íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ.
2.1.2 Êîíñåðâàòèâíûå ñèñòåìû
Ìàÿòíèê, îïèñûâàåìûé óðàâíåíèåì (2.1) ñîõðàíÿåò ýíåðãèþ. Äåéñò-
âèòåëüíî,
ú
û
ù
ê
ë
é
-+=-+= )cos(
l
g
ml)cos(mgl
mv
E q
q
q 1
2
1
2
2
2
2
&
è
0sin
2
º
ú
û
ù
ê
ë
é
+= qqq
&&&
l
g
ml
dt
dE
. (2.3)
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèíèè íà ðèñóíêå 2.2 ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê
ëèíèè ðàâíîé ýíåðãèè. Ýíåðãèÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ñîâïàäàåò ñ
ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà, à óðàâíåíèå (2.1) ïðèâîäèòñÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé
ïåðâîãî ïîðÿäêà
.,
q
q
=
=
H
p
p
H
&
&
Çäåñü )cos1(
2
),(
2
qq -+= g
l
p
pH , è q
&
lp = .
Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðåííûé ìàÿòíèê îòíîñèòñÿ ê ãàìèëüòîíîâûì
ñèñòåìàì, êîòîðûå, êàê èçâåñòíî, êîíñåðâàòèâíû.
Èç êîíñåðâàòèâíîñòè (ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè) ñëåäóåò îäíî î÷åíü âàæ-
íîå ñâîéñòâî - ñîõðàíåíèå ïëîùàäåé (â îáùåì ñëó÷àå - îáúåìà) â ôàçîâîì
                                                                                      45



íîñòü ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, îïèñûâàþ ù èõ ýâîëþ öèþ ñèñòåìû ïðè ðàçëè÷-
íûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, îáðàçóåòôàçîâûé ïîðòðåò ñèñòåìû.
         Í à ðèñóíêå 2.2 ïðèâåäåí ôàçîâûé ïîðòðåò ìàÿòíèêà. Êàðòèíà ïåðèî-
äè÷íà ïî îñè q ñ ïåðèîäîì 2p .  îáëàñòè ïðèìåíèìîñòè óðàâíåíèÿ (2.2)
ôàçîâûå òðàåêòîðèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ
q& = 0, q = ±2pn, n -öåëîå ÷èñëî. Ýòè êðèâûå ñîîòâåòñòâóþò ãàðìîíè÷åñêèì
êîëåáàíèÿì, ÷àñòîòà êîòîðûõ íå çàâèñèò îò àìïëèòóäû. Ñ ðîñòîì àìïëè-
òóäû êîëåáàíèé òðàåêòîðèè ïðèíèìàþò ýëëèïòè÷åñêóþ ôîðìó è ïåðèîä
êîëåáàíèé ðàñòåò. Åñëè ýíåðãèÿ êîëåáàíèé ïðåâûøàåò âåëè÷èíó 2 g / l , òî
êîëåáàíèÿ ïåðåõîäÿò âî âðàù åíèÿ âîêðóã îñè. Òðàåêòîðèè, òî÷íî ñîîòâåò-
ñòâóþ ù èå ýòîìó çíà÷åíèþ ýíåðãèè, ïðîõîäÿò ÷åðåç âåðõíåå, íåóñòîé÷èâîå
ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ è ïåðèîä êîëåáàíèé ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ýòà
òðàåêòîðèÿ ðàçäåëÿåò îáëàñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ñ ðàçëè÷íûì õàðàê-
òåðîì ïîâåäåíèÿ (êîëåáàíèÿ è âðàù åíèå) è ÿâëÿåòñÿñåïàðàòðèñîé. Ñòðåëêè
íà ðèñóíêå óêàçûâàþ ò íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ.



          2.1.2 Êîíñåðâàòèâíûåñèñòåìû

     Ì àÿòíèê, îïèñûâàåìûé óðàâíåíèåì (2.1) ñîõðàíÿåò ýíåðãèþ. Äåéñò-
âèòåëüíî,

                               mv 2                           éq&2 g           ù
                          E=        + mgl( 1 - cos q ) = ml 2 ê + ( 1 - cos q )ú
                                2                             ë2   l           û
è
                            dE        é    g      ù
                               = ml 2 êq&&+ sin q úq& º 0 .                        (2.3)
                            dt        ë     l     û

     Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèíèè íà ðèñóíêå 2.2 ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê
ëèíèè ðàâíîé ýíåðãèè. Ýíåðãèÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ñîâïàäàåò ñ
ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà, à óðàâíåíèå (2.1) ïðèâîäèòñÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé
ïåðâîãî ïîðÿäêà

                                    ¶H               ¶H
                               q& =    ,      p& =      .
                                    ¶p               ¶q
                    p2
Çäåñü H ( p,q ) =      + g (1 - cosq ) , è p = lq&.
                    2l
     Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðåííûé ìàÿòíèê îòíîñèòñÿ ê ãàìèëüòîíîâûì
ñèñòåìàì, êîòîðûå, êàê èçâåñòíî, êîíñåðâàòèâíû.
     È ç êîíñåðâàòèâíîñòè (ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè) ñëåäóåò îäíî î÷åíü âàæ-
íîå ñâîéñòâî - ñîõðàíåíèå ïëîù àäåé (â îáù åì ñëó÷àå - îáúåìà) â ôàçîâîì

Страницы