Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

47
22
qm
&
ml
dt
dE
-= . (2.5)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì çíà÷åíèè êîýôôèöèåíòà òðå-
íèÿ ýíåðãèÿ óáûâàåò ñî âðåìåíåì, ñòðåìÿñü â êîíå÷íîì èòîãå ê íóëþ (îòðè-
öàòåëüíîé ýíåðãèÿ ñòàòü íå ìîæåò). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñåìåéñòâî òðàåêòî-
ðèé, ïðåäñòàâëÿâøåå ñîáîé â îòñóòñòâèå òðåíèÿ ìíîæåñòâî êîíöåíòðè÷å-
ñêèõ îêðóæíîñòåé, ïðåâðàùàåòñÿ òåïåðü âî ìíî-
æåñòâî òðàåêòîðèé, ñõîäÿùèõñÿ ê íà÷àëó êîîð-
äèíàò. Íà ðèñóíêå 2.3 ïîêàçàíû ôàçîâûå ïîðòðå-
òû ìàÿòíèêà ñ òðåíèåì äëÿ ìàëîãî (à) è áîëüøî-
ãî (á) òðåíèÿ.  ïåðâîì ñëó÷àå õàðàêòåðíîå âðåìÿ
çàòóõàíèÿ çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ïåðèîä êîëå-
áàíèé è òðàåêòîðèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñïèðàëè
ñ ìàëûì øàãîì. Ñîîòâåòñòâóþùèé ôàçîâûé
ïîðòðåò íàçûâàåòñÿ ôîêóñîì. Âî âòîðîì ñëó÷àå
çàòóõàíèå ïðîèñõîäèò çà âðåìÿ, ìåíüøåå ïåðèî-
äà. Êîëåáàíèÿ ñòàíîâÿòñÿ àïåðèîäè÷åñêèìè, à
ïîðòðåò íàçûâàåòñÿ óçëîì.  îáîèõ ñëó÷àÿõ âñå
ôàçîâûå òðàåêòîðèè çàêàí÷èâàþòñÿ â îäíîé òî÷-
êå, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé òî÷êîé èëè àòòðàêòîðîì.
Íàëè÷èå àòòðàêòîðà ÿâëÿåòñÿ âàæíåéøèì ñâîéñòâîì äèññèïàòèâíûõ
ñèñòåì. Àòòðàêòîð ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé òîëüêî â ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ.  îáùåì
ñëó÷àå àòòðàêòîð - ýòî ïðèòÿãèâàþùåå ìíîæåñòâî (ëèíèÿ, ïîâåðõíîñòü è
ò.ä.). Ïðåäñòàâèì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè îñöèëÿòîðå äîáàâëåíà âû-
íóæäàþùàÿ ñèëà (äëÿ êîíêðåòíîñòè ïðåäñòàâèì ñåáå ãèðþ â ÷àñàõ-
õîäèêàõ). Òåïåðü, íåçàâèñèìî îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé ôàçîâûå òðàåêòîðèè
ñõîäÿòñÿ ê îêðóæíîñòè, ðàäèóñ êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâóþùåé ñèëîé
(ðèñ.2.4). Ýòà êðóãîâàÿ òðàåêòîðèÿ è ÿâëÿåòñÿ àòòðàêòîðîì (ïðåäåëüíûì
öèêëîì). Âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî â äèññèïàòèâíîé ñèñòåìå ïðîïàëà
çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé (íà äîñòàòî÷íî áîëüøèõ âðå-
ìåíàõ, êîãäà ñèñòåìà âûõîäèò íà àòòðàêòîð).
Ðèñ.
2.4.
Ðèñ.
2.5.
                                                                      47


                                              dE
                                                 = - mml 2q&2 .    (2.5)
                                              dt

Òàêèì îáðàçîì, ïðè ëþ áîì ïîëîæèòåëüíîì çíà÷åíèè êîýôôèöèåíòà òðå-
íèÿ ýíåðãèÿ óáûâàåò ñî âðåìåíåì, ñòðåìÿñü â êîíå÷íîì èòîãå ê íóëþ (îòðè-
öàòåëüíîé ýíåðãèÿ ñòàòü íå ìîæåò). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñåìåéñòâî òðàåêòî-
ðèé, ïðåäñòàâëÿâø åå ñîáîé â îòñóòñòâèå òðåíèÿ ìíîæåñòâî êîíöåíòðè÷å-
ñêèõ îêðóæíîñòåé, ïðåâðàù àåòñÿ òåïåðü âî ìíî-
æåñòâî òðàåêòîðèé, ñõîäÿù èõñÿ ê íà÷àëó êîîð-
äèíàò. Í à ðèñóíêå 2.3 ïîêàçàíû ôàçîâûå ïîðòðå-
òû ìàÿòíèêà ñ òðåíèåì äëÿ ìàëîãî (à) è áîëüø î-
ãî (á) òðåíèÿ.  ïåðâîì ñëó÷àå õàðàêòåðíîå âðåìÿ
çàòóõàíèÿ çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ïåðèîä êîëå-
áàíèé è òðàåêòîðèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñïèðàëè
ñ ìàëûì ø àãîì. Ñîîòâåòñòâóþ ù èé ôàçîâûé
ïîðòðåò íàçûâàåòñÿ ôîêóñîì. Âî âòîðîì ñëó÷àå
çàòóõàíèå ïðîèñõîäèò çà âðåìÿ, ìåíüø åå ïåðèî-
äà. Êîëåáàíèÿ ñòàíîâÿòñÿ àïåðèîäè÷åñêèìè, à              Ðèñ. 2.4.
ïîðòðåò íàçûâàåòñÿ óçëîì.  îáîèõ ñëó÷àÿõ âñå
ôàçîâûå òðàåêòîðèè çàêàí÷èâàþ òñÿ â îäíîé òî÷-
êå, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿïðèòÿãèâàþ ù åé òî÷êîé èëè àòòðàêòîðîì.
       Í àëè÷èå àòòðàêòîðà ÿâëÿåòñÿ âàæíåéø èì ñâîéñòâîì äèññèïàòèâíûõ
ñèñòåì. Àòòðàêòîð ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé òîëüêî â ïðîñòåéø èõ ñëó÷àÿõ.  îáù åì
ñëó÷àå àòòðàêòîð - ýòî ïðèòÿãèâàþ ù åå ìíîæåñòâî (ëèíèÿ, ïîâåðõíîñòü è
ò.ä.). Ï ðåäñòàâèì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè îñöèëÿòîðå äîáàâëåíà âû-
íóæäàþ ù àÿ ñèëà (äëÿ êîíêðåòíîñòè ïðåäñòàâèì ñåáå ãèðþ â ÷àñàõ-
õîäèêàõ). Òåïåðü, íåçàâèñèìî îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé ôàçîâûå òðàåêòîðèè
ñõîäÿòñÿ ê îêðóæíîñòè, ðàäèóñ êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâóþ ù åé ñèëîé




                                Ðèñ. 2.5.

(ðèñ.2.4). Ýòà êðóãîâàÿ òðàåêòîðèÿ è ÿâëÿåòñÿ àòòðàêòîðîì (ïðåäåëüíûì
öèêëîì). Âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî â äèññèïàòèâíîé ñèñòåìå ïðîïàëà
çàâèñèìîñòü ðåø åíèÿ îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé (íà äîñòàòî÷íî áîëüø èõ âðå-
ìåíàõ, êîãäà ñèñòåìà âûõîäèò íà àòòðàêòîð).

Страницы