Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 48 стр.

48



      Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð èëëþ ñòðèðóåò åù å îäíî âàæíåéø åå ñâîéñòâî
äèññèïàòèâíûõ ñèñòåì - ñæàòèå ïëîù àäåé (îáúåìà) â ôàçîâîì ïðîñòðàíñò-
âå. Îáúåì ëþáîãî ìíîæåñòâà íà÷àëüíûõ óñëîâèé óìåíüø àåòñÿ â ñðåäíåì âî
âðåìåíè. Îäíàêî, êàê è â êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåìàõ, ýâîëþöèÿ ìíîæåñòâà
ìîæåò ïðîèñõîäèòü ðàçëè÷íûì îáðàçîì. È íîãäà (êàê â ïðîñòîì ìàÿòíèêå ñ
òðåíèåì) ýòî ìíîæåñòâî ðàâíîìåðíî ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó (èëè ñòðåìèòñÿ ê
ïðåäåëüíîìó öèêëó) è âñå òðàåêòîðèè ñáëèæàþ òñÿ ñî âðåìåíåì. Í î íå âñå-
ãäà óìåíüø åíèå îáúåìà ïîäðàçóìåâàåò íåèçáåæíîå ñîêðàù åíèå äëèí. Ðàñ-
òÿæåíèå îáúåìà â îäíîì íàïðàâëåíèè ìîæåò êîìïåíñèðîâàòüñÿ áîëåå ýô-
ôåêòèâíûì ñæàòèåì â äðóãîì íàïðàâëåíèè. Ýòè äâà ñöåíàðèÿ ñæàòèÿ ôàçî-
âîãî îáúåìà ïîêàçàíû íà ðèñóíêå2.5.
      Ï îñëåäíåå ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå äèññèïàòèâíûõ ñèñòåì îò êîí-
ñåðâàòèâíûõ ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî îíè íå èíâàðèàíòíû ê îáðàù åíèþ âðåìåíè.
Åñëè ôèëüì î çàòóõàþ ù åì ìàÿòíèêå ïðîñìàòðèâàòü â îáðàòíîì íàïðàâëå-
íèè, òî ìàÿòíèê ñòàíåò ðàñêà÷èâàþ ù èìñÿ.


        2.1.4 Ï ðèìåð íåìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû
      Ï ðèâåäåì ïðîñòîé ïðèìåð äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû èç æèâîãî ìèðà.
Ýòî ìîäåëü ñèñòåìû æåðòâà - õèù íèê. Ñèñòåìà áåññïîðíî äèññèïàòèâíà,
òàê êàê â îòñóòñòâèå ïèù è ëþáàÿ áèîëîãè÷åñêàÿ ïîïóëÿöèÿ âûìèðàåò.
      Ï óñòü â èçîëèðîâàííîì ëåñó îáèòàþ ò òîëüêî çàéöû è âîëêè, çà ïîïó-
ëÿöèÿìè êîòîðûõ ìû è ñîáèðàåìñÿ ñëåäèòü ( N - êîëè÷åñòâî âîëêîâ, n - êî-
ëè÷åñòâî çàéöåâ). Ô àçîâîå ïðîñòðàíñòâî åñòü â ýòîì ñëó÷àå îäèí êâàäðàíò
íà ïëîñêîñòè (n, N ) , òàê êàê îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ äëÿ ÷èñëåííîñòè æè-
âîòíûõ íå âîçìîæíû. Ï îñòàðàåìñÿ íàðèñîâàòü ôàçîâûé ïîðòðåò ñèñòåìû,
íå âûïèñûâàÿ óðàâíåíèé.
      Êàêèå ïàðàìåòðû îïðåäåëÿþ ò âîçìîæíûå ñöåíàðèè ðàçâèòèÿ æèçíè â
ëåñó ? Ýòî ðîæäàåìîñòü îáîèõ âèäîâ, åñòåñòâåííàÿ ñìåðòíîñòü, àïïåòèò
âîëêîâ. Î÷åâèäíî, ÷òî ó êàæäîãî âèäà åñòü íàèìåíüø åå êðèòè÷åñêîå ÷èñëî
(ñîîòâåòñòâåííî, nc è N c ), íåîáõîäèìîå äëÿ òîãî, ÷òîáû âèä ìîã âîñïðîèç-
âîäèòüñÿ. Îòëîæèì íà îñÿõ ýòè êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ è ïîäóìàåì, êàê ìî-
æåò ðàçâèâàòüñÿ ñèñòåìà åñëè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ çàäàþ ò ñòàðò ôàçîâîé
òðàåêòîðèè âáëèçè îñåé êîîðäèíàò. ßñíî, ÷òî ðåø àþ ù èì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî
çàéöåâ. Åñëè êîëè÷åñòâî çàéöåâ íå äîñòàòî÷íî äëÿ ïîääåðæàíèÿ âèäà, òî
âûìðóò çàéöû, à ñëåäîì ñ íåèçáåæíîñòüþ âûìðóò è âîëêè. Åñëè ìàëî âîë-
êîâ ( N < N c ) , à çàéöåâ äîñòàòî÷íî, òî ïîñëå âûìèðàíèÿ âîëêîâ ÷èñëåííîñòü
ïîïóëÿöèè çàéöåâ (â óïðîù åííîé ìîäåëè) áóäåò çàâèñåòü òîëüêî îò íàëè-
÷èÿ òðàâû â íàø åì ëåñó (îáîçíà÷èì ýòî ÷èñëî êàê nm ). Òàêèì îáðàçîì, â
ñèñòåìå âûÿâèëèñü äâå ïðèòÿãèâàþ ù èå òî÷êè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò
ñâîþ îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ.