Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

53
òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè ôàçîâîé òðàåê-
òîðèåé (ïðè÷åì ôèêñèðóþòñÿ òîëüêî òî÷êè,
â êîòîðûõ òðàåêòîðèè ïåðåñåêàþò ïëîñêîñòü
â îäíîì íàïðàâëåíèè, â äàííîì ñëó÷àå, ñâåð-
õó âíèç).
Ìíîæåñòâî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ
i
P îáðà-
çóþò ñå÷åíèå Ïóàíêàðå, à ïðåîáðàçîâàíèå,
ñâÿçûâàþùåå ïîñëåäóþùóþ òî÷êó ñ ïðåäû-
äóùåé
)(
1 ii
PTP =
+
(2.7)
íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåì Ïóàíêàðå.
Ïðè ïåðåõîäå îò ôàçîâûõ òðàåêòîðèé ê
ñå÷åíèþ Ïóàíêàðå ïðîèñõîäèò ñíèæåíèå
ðàçìåðíîñòè èññëåäóåìîãî ìíîæåñòâà. Ïðè
ýòîì ðàññìàòðèâàåòñÿ íå ñèñòåìà äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì, à îòîáðàæåíèå (2.7) ñ äèñ-
êðåòíûì âðåìåíåì è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ çàìåíÿþòñÿ ðàçíîñò-
íûìè.  òî æå âðåìÿ, ñå÷åíèå Ïóàíêàðå ñîõðàíÿåò òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà
ïîðîäèâøåãî åãî ïîòîêà. Òàê äëÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ñå÷åíèå ñîõðà-
íÿåò, à äëÿ äèññèïàòèâíîé ñîêðàùàåò ïëîùàäè íà ïëîñêîñòè S .
Åñëè ðåøåíèå ñèñòåìû ïåðèîäè÷åñêîå, õàðàêòåðèçóåìîå ÷àñòîòîé
1
f ,
òî ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàìêíóòóþ êðèâóþ è ñå÷åíèå
Ïóàíêàðå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå îäíó åäèíñòâåííóþ
òî÷êó (èëè íåñêîëüêî òî÷åê, åñëè òðàåêòîðèÿ î÷åíü èçâèëèñòàÿ è/èëè íå-
óäà÷íî âûáðàíà ïëîñêîñòü ñå÷åíèÿ). Åñëè â ðåøåíèè ïîÿâëÿåòñÿ âòîðàÿ
÷àñòîòà
2
f è àòòðàêòîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóìåðíûé òîð, òî òî÷êè â ñå-
÷åíèå Ïóàíêàðå ëîæàòñÿ íà çàìêíóòóþ êðèâóþ, êîòîðàÿ ìîæåò èìåòü èëè
íå èìåòü òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ (ðèñ.2.11). Ïðè ýòîì òî÷êè ìîãóò îáðàçî-
âûâàòü íà ýòîé êðèâîé êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, åñëè îòíîøåíèå ÷àñòîò
21
/ ff
ðàöèîíàëüíî è ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàìêíóòóþ ëèíèþ,
èëè ïîêðûâàòü êðèâóþ íåïðåðûâíûì îáðàçîì, åñëè îòíîøåíèå ÷àñòîò èð-
ðàöèîíàëüíî.
Ïîñìîòðèì, êàê âûãëÿäèò ïðîáëåìà óñòîé÷èâîñòè ïåðèîäè÷åñêîãî
ðåøåíèÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå. Âîïðîñ ñîñòîèò â òîì, ÿâ-
ëÿåòñÿ ëè çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ óñòîé÷èâîé ïî îòíîøåíèþ ê ìàëûì âîç-
ìóùåíèÿì. Èíà÷å ãîâîðÿ, íóæíî óçíàòü, êàê èçìåíèòñÿ ïîëîæåíèå òî÷êè
P
íà ñëåäóþùåì øàãå, åñëè íà äàííîì øàãå âíåñòè âîçìóùåíèå â åå ïîëîæå-
íèå. Îãðàíè÷èâàÿñü ëèíåéíûì àíàëèçîì óñòîé÷èâîñòè, äëÿ îïèñàíèÿ îòî-
áðàæåíèÿ Ïóàíêàðå )(PT ââîäÿò ìàòðèöó
Ðèñ.
2.11.
                                                                        53



òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè ôàçîâîé òðàåê-
òîðèåé (ïðè÷åì ôèêñèðóþòñÿ òîëüêî òî÷êè,
â êîòîðûõ òðàåêòîðèè ïåðåñåêàþò ïëîñêîñòü
â îäíîì íàïðàâëåíèè, â äàííîì ñëó÷àå, ñâåð-
õó âíèç).
      Ì íîæåñòâî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ Pi îáðà-
çóþ ò ñå÷åíèå Ï óàíêàðå, à ïðåîáðàçîâàíèå,
ñâÿçûâàþ ù åå ïîñëåäóþ ù óþ òî÷êó ñ ïðåäû-
äóù åé

                  Pi + 1 = T ( Pi )    (2.7)

íàçûâàåòñÿîòîáðàæåíèåì Ï óàíêàðå.
      Ï ðè ïåðåõîäå îò ôàçîâûõ òðàåêòîðèé ê
ñå÷åíèþ Ï óàíêàðå ïðîèñõîäèò ñíèæåíèå                  Ðèñ. 2.11.
ðàçìåðíîñòè èññëåäóåìîãî ìíîæåñòâà. Ï ðè
ýòîì ðàññìàòðèâàåòñÿ íå ñèñòåìà äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì, à îòîáðàæåíèå (2.7) ñ äèñ-
êðåòíûì âðåìåíåì è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ çàìåíÿþòñÿ ðàçíîñò-
íûìè.  òî æå âðåìÿ, ñå÷åíèå Ï óàíêàðåñîõðàíÿåò òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà
ïîðîäèâø åãî åãî ïîòîêà. Òàê äëÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ñå÷åíèå ñîõðà-
íÿåò, à äëÿ äèññèïàòèâíîé ñîêðàù àåò ïëîù àäè íà ïëîñêîñòè S .
      Åñëè ðåø åíèå ñèñòåìû ïåðèîäè÷åñêîå, õàðàêòåðèçóåìîå ÷àñòîòîé f1 ,
òî ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàìêíóòóþ êðèâóþ è ñå÷åíèå
Ï óàíêàðå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé â ïðîñòåéø åì ñëó÷àå îäíó åäèíñòâåííóþ
òî÷êó (èëè íåñêîëüêî òî÷åê, åñëè òðàåêòîðèÿ î÷åíü èçâèëèñòàÿ è/èëè íå-
óäà÷íî âûáðàíà ïëîñêîñòü ñå÷åíèÿ). Åñëè â ðåø åíèè ïîÿâëÿåòñÿ âòîðàÿ
÷àñòîòà f 2 è àòòðàêòîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóìåðíûé òîð, òî òî÷êè â ñå-
÷åíèå Ï óàíêàðå ëîæàòñÿ íà çàìêíóòóþ êðèâóþ, êîòîðàÿ ìîæåò èìåòü èëè
íå èìåòü òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ (ðèñ.2.11). Ï ðè ýòîì òî÷êè ìîãóò îáðàçî-
âûâàòü íà ýòîé êðèâîé êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, åñëè îòíîø åíèå ÷àñòîò f1 / f 2
ðàöèîíàëüíî è ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàìêíóòóþ ëèíèþ ,
èëè ïîêðûâàòü êðèâóþ íåïðåðûâíûì îáðàçîì, åñëè îòíîø åíèå ÷àñòîò èð-
ðàöèîíàëüíî.
      Ï îñìîòðèì, êàê âûãëÿäèò ïðîáëåìà óñòîé÷èâîñòè ïåðèîäè÷åñêîãî
ðåø åíèÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ îòîáðàæåíèÿ Ï óàíêàðå. Âîïðîñ ñîñòîèò â òîì, ÿâ-
ëÿåòñÿ ëè çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ óñòîé÷èâîé ïî îòíîø åíèþ ê ìàëûì âîç-
ìóù åíèÿì. È íà÷å ãîâîðÿ, íóæíî óçíàòü, êàê èçìåíèòñÿ ïîëîæåíèå òî÷êè P
íà ñëåäóþ ù åì ø àãå, åñëè íà äàííîì ø àãå âíåñòè âîçìóù åíèå â åå ïîëîæå-
íèå. Îãðàíè÷èâàÿñü ëèíåéíûì àíàëèçîì óñòîé÷èâîñòè, äëÿ îïèñàíèÿ îòî-
áðàæåíèÿ Ï óàíêàðå T (P ) ââîäÿò ìàòðèöó

Страницы