Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 54 стр.

54



                                  é¶T ù
                              M = ê i ú, i, j = 1,2 ,              (2.8)
                                  ë¶x j ú
                                  ê     û

íàçûâàåìóþ ìàòðèöåé Ô ëîêå. Ýòà ìàòðèöà õàðàêòåðèçóåò ðåàêöèþ îòî-
áðàæåíèÿ T âäîëü êîîðäèíàòû i íà âîçìóù åíèå âäîëü êîîðäèíàòû j . Óñ-
òîé÷èâîñòü öèêëà îïðåäåëÿåòñÿ ñîáñòâåííûìè
çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû (2.8). Ñìåù åíèå òðàåê-
òîðèè íà ñëåäóþ ù åì âèòêå ýêñïîíåíöèàëüíî
óáûâàåò ñî âðåìåíåì, åñëè âñå ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ ëåæàò âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæíî-
ñòè íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Åëè æå êàêîå-
ëèáî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ñòàíîâèòñÿ ïî ìî-
äóëþ áîëüø å åäèíèöû, òî ñìåù åíèÿ ðàñòóò ñî
âðåìåíåì è öèêë ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâûì.              Ðèñ. 2.12.
      È çó÷åíèå ñâîéñòâ ìàòðèöû Ô ëîêå ïî-
çâîëÿåò íå òîëüêî îïðåäåëèòü óñòîé÷èâ èëè
íåò ïðåäåëüíûé öèêë, íî è óçíàòü âèä áèôóðêàöèè, ñîîòâåòñòâóþ ù åé ïîòå-
ðå óñòîé÷èâîñòè. Ï îòåðÿ óñòîé÷èâîñòè, êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, ïðîèñ-
õîäèò ïðè ïåðåñå÷åíèè ìîäóëÿ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ÷åðåç åäèíè÷íóþ îê-
ðóæíîñòü. Ýòî ïåðåñå÷åíèå ìîæåò ïðîèñõîäèòü òðåìÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñî-
áàìè (ðèñ.2.12).
       ïåðâîì ñëó÷àå, ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå äåéñòâèòåëüíî è ïåðåñåêàåò
îêðóæíîñòü â òî÷êå+1. Ýòîò ïåðåõîä ñîîòâåòñòâóåò áèôóðêàöèè óçåë-ñåäëî,
îçíà÷àþ ù åé, ÷òî ïîÿâëÿåòñÿ îäíî íåóñòîé÷èâîå íàïðàâëåíèå è ïåðèîäè÷å-
ñêîå äâèæåíèå ðàçðóø àåòñÿ.
      Âî âòîðîì ñëó÷àå, ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå òàêæå äåéñòâèòåëüíî, íî ïå-
ðåñåêàåò îêðóæíîñòü â òî÷êå -1. Ì îìåíò ïåðåõîäà ñîîòâåòñòâóåò ñèòóàöèè,
êîãäà òðàåêòîðèÿ ÷åðåç ðàç ñíîâà ïîïàäàåò â ïðåæíþ þ òî÷êó. Ýòî òàê íà-
çûâàåìàÿ áèôóðêàöèÿ óäâîåíèÿ ïåðèîäà (ñóáãàðìîíè÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ).
Îíà ìîæåò áûòü íîðìàëüíîé è îáðàòíîé. Ï ðè íîðìàëüíîé ñóáãàðìîíè÷å-
ñêîé áèôóðêàöèè ðåø åíèå çàìåíÿåòñÿ íîâûì óñòîé÷èâûì ïåðèîäè÷åñêèì
ðåø åíèåì ñ óäâîåííûì ïåðèîäîì (ñì. ïàðàãðàô 1.7), ïðè îáðàòíîé áèôóð-
êàöèè âîçíèêàåò âðåìåííàÿ ïåðåìåæàåìîñòü, êîãäà äîëãèå èíòåðâàëû ïî÷-
òè ïåðèîäè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ñìåíÿþ òñÿ õàîòè÷åñêèìè îñöèëÿöèÿìè.
      Òðåòèé òèï ïåðåõîäà âîçíèêàåò ïðè êîìïëåêñíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷å-
íèÿõ.  ýòîì ñëó÷àå ïàðà êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõçíà÷åíèé îäíîâðåìåííî
ïåðåñåêàåò åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü. Ýòîò ïåðåõîä îòâå÷àåò áèôóðêàöèè
Õîïôà (âîçíèêàåò áëóæäàíèå òðàåêòîðèè âîêðóã óñòîé÷èâîé ïðåæäå òî÷-
êè). Åñëè áèôóðêàöèÿ íîðìàëüíàÿ, òî ïðåäåëüíûé öèêë ïåðåõîäèò â òîð,
åñëè îáðàòíàÿ, òî âíîâü âîçíèêàåòïåðåìåæàåìîñòü.