Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 55 стр.

                                                           55




        2.3.2 Ï îêàçàòåëè Ëÿïóíîâà

      Òåîðèÿ Ô ëîêå ðàññìàòðèâàåò óñ-
òîé÷èâîñòü çàìêíóòîé ôàçîâîé òðàåê-
òîðèè, èíòåðåñóÿñü ïðè ýòîì òîëüêî
ïîâåäåíèåì âñåãî öèêëà â öåëîì. Ì îæ-
íî ïîñòàâèòü âîïðîñ è î ëîêàëüíîé óñ-
òîé÷èâîñòè òðàåêòîðèè, íåçàâèñèìî îò
òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà çàìêíóòîé èëè
íåò. È íà÷å ãîâîðÿ, ðå÷ü èäåò î õàðàê-
òåðèñòèêå ñêîðîñòè ðàñõîæäåíèÿ (ñõî-
æäåíèÿ) íà÷àëüíî áëèçêèõ òðàåêòîðèé
â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Êîëè÷åñòâåí-
íîé ìåðîé ðàñõîäèìîñòè òðàåêòîðèé
ÿâëÿþ òñÿ ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà.
      ×òîáû ââåñòè ïîêàçàòåëè Ëÿïó-
íîâà, íåîáõîäèìî ðàññìîòðå  r
                              òü ýâîëþ -
öèþ ìàëîãî âîçìóù åíèÿ dX (t ) ôàçîâîé
               r
òðàåêòîðèè X (t ) . È íòåãðèðóÿ ÷èñëåíî
èññëåäóåìóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, ìîæ-
íî ïîñòðîèòü ìàòðèöó M , ñâÿçûâàþ -
ù óþ âåêòîð âîçìóù åíèé â ìîìåíò
âðåìåíè t + dt ñ âåêòîðîì â ìîìåíò âðå-
ìåíè t :
             r                     r
            dX (t + dt ) = M (dt )dX (t ) .

      Äëÿ n - ìåðíîé ñèñòåìû ìàòðèöà
M áóäåò èìåòü ðàçìåðíîñòü n 2 è
n ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Òðàåêòîðèÿ
óñòîé÷èâà, åñëè ìîäóëè âñåõ ñîáñòâåí-
íûõ ÷èñåë ìåíüø å åäèíèöû (èëè ïîêà-
çàòåëè ñòåïåíè ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì
ïðåäñòàâëåíèè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îò-
ðèöàòåëüíû). Í à ïðàêòèêå èíòåðåñ
ïðåäñòàâëÿåò íàèáîëåå îïàñíîå íà-
ïðàâëåíèå è îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî îäèí,
ñàìûé áîëüø îé ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà.           Ðèñ. 2.13.
È ñõîäÿ èç òîãî, ÷òî íà êîíå÷íûõ âðå-
ìåíàõ âîçìóù åííàÿ òðàåêòîðèÿ óõîäèò