Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 56 стр.

56



â ñàìîì íåóñòîé÷èâîì íàïðàâëåíèè, ïðàêòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ïåðâîãî
ïîêàçàòåëÿ Ëÿïóíîâàr
                          ìîæíî ðåàëèçîâàòü ïî ñëåäóþ ù åé ñõåìå.    r
         òî÷êå X (t ) íà çàäàííîé òðàåêòîðèè âíîñèòñÿ âîçìóù åíèå dX (t ) , îò-
ñòîÿù åå íà ðàññòîÿíèå d 0 îò îñíîâíîé òðàåêòîðèè. Ðåø àÿ äàëåå èññëåäóå-
ìóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ íåâîçìóù åííîãî è âîçìóù åííîãî ðåø åíèÿ, âû-
÷èñëÿþò ðàññòîÿíèåìåæäó òðàåêòîðèÿìè d (t ) ÷åðåç ïðîìåæóòîê âðåìåíè t .
Äàëåå, âîçìóù åííóþ òî÷êó ñíîâà óñòàíàâëèâàþò íà ðàññòîÿíèè d 0 îò îñ-
íîâíîé
 r
             òðàåêòîðèè, íî òàê, ÷òî îíà îñòàåòñÿ â òîì íàïðàâëåíèè îò òî÷êè
X (t + t ) , ÷òî áûëî ïîëó÷åíî â ðåçóëüòàòå âû÷èñëåíèé âîçìóù åííîãî ðåø å-
íèÿ. Òåì ñàìûì íà êàæäîì ø àãå ìû âû÷èñëÿåì ñêîðîñòü ðàñõîæäåíèÿ òðà-
åêòîðèé â íàèáîëåå îïàñíîì íàïðàâëåíèè. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ðàñõîæäåíèå òðà-
åêòîðèé ïîä÷èíÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó d (t + t ) = d 0 e l t è ìíîãî-
                                                                       1



êðàòíî ïîâòîðÿÿ ýòó ïðîöåäóðó, ïðèõîäèì ê ñëåäóþ ù åé ôîðìóëå äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ ïåðâîãî ïîêàçàòåëÿ Ëÿïóíîâà:

                                                1 m       d
                                    l1 = lim
                                         m ® ¥ mt
                                                  åi=1 ln d i   .
                                                            0




               2.3.3 Ýíòðîïèÿ Êîëìîãîðîâà

     Äðóãîé âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ â ôàçîâîì
ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ ýíòðîïèÿ Êîëìîãîðîâà (Ê-ýíòðîïèÿ). Í àïîìíèì,
÷òî ýíòðîïèÿ åñòü ìåðà áåñïîðÿäêà (â òåðìîäèíàìèêå) èëè ìåðà èíôîðìà-
öèè, íåîáõîäèìîé äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû â íåêîòîðîì ñî-
ñòîÿíèÿ (â òåîðèè èíôîðìàöèè) è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

                                        S=-    å P ln P ,
                                                i
                                                    i     i




ãäå Pi åñòü âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè i .
        Ï óñòü ñèñòåìà ýâîëþ öèîíèðóåò â d - ìåðíîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå,
êîòîðîå ðàçáèâàåòñÿ íà ÿ÷åéêè ðàçìåðà l (âñåãî l d ÿ÷ååê). Ñîñòîÿíèå ñèñòå-
ìû ôèêñèðóåòñÿ ÷åðåç èíòåðâàëû âðåìåíè t è íà êàæäîì ø àãårðåãèñòðèðó-
åòñÿ íîìåð ÿ÷åéêè, â êîòîðîé îêàçàëàñü ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ X (t ) . Îáîçíà-
÷èì Pi ....i ñîâìåñòíóþ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñèñòåìà, ñòàðòîâàâ ïðè t = t 0 â
       0   n

ÿ÷åéêå i0 , ïðîø ëà ÷åðåç ÿ÷åéêè i1 ,i2,.... è â ìîìåíò t = t 0 + nt îêàçàëàñü â ÿ÷åéêå
in . È íôîðìàöèÿ, íåîáõîäèìàÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû íà çà-
äàííîé òðàåêòîðèè, ïðîïîðöèîíàëüíà ýíòðîïèè Ø åíîíà