Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

58
2.4 Ñïåêòðû Ôóðüå
2.4.1 Íåïðåðûâíîå è äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
Àíàëèç Ôóðüå èãðàåò îñîáóþ ðîëü ïðè èññëåäîâàíèè íå òîëüêî ïå-
ðèîäè÷åñêèõ, íî òàêæå êâàçèïåðèîäè÷åñêèõ è ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ. Â
êîíòåêñòå çàäà÷, ðàññìàòðèâàåìûõ â ýòîé ãëàâå, îí èíòåðåñóåò íàñ êàê èí-
ñòðóìåíò, ïîçâîëÿþùèé îòëè÷àòü ïåðèîäè÷åñêèå ðåæèìû îò ñòîõàñòè÷å-
ñêèõ, íî çíà÷åíèå ìåòîäà Ôóðüå â èçó÷åíèè ïðîáëåìû òóðáóëåíòíîñòè ýòèì
íå èñ÷åðïûâàåòñÿ.  äàëüíåéøåì ìû óâèäèì, íàñêîëüêî îí ïîëåçåí ïðè
÷èñëåííîì èññëåäîâàíèè òóðáóëåíòíûõ ïîòîêîâ è ïðè îáðàáîòêå ðåçóëü-
òàòîâ èçìåðåíèé. Âñå ýòî äåëàåò íåîáõîäèìûì êðàòêîå èçëîæåíèÿ îñíîâ-
íûõ ñâîéñòâ íåïðåðûâíîãî è äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.
Íàïîìíèì, ÷òî Ôóðüå ïðåäëîæèë ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ðÿä ïî ãàð-
ìîíè÷åñêèì ôóíêöèÿì êàê ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè,
êîòîðîå â îäíîìåðíîì ñëó÷àå èìååò âèä
TT
xxt
= h . (2.10)
Åñëè çàäà÷à ðåøàåòñÿ íà îòðåçêå (0,L) è èìååò, íàïðèìåð, íóëåâûå
ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, òî òåìïåðàòóðà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðÿäîì
å
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
n
n
L
nx
tbtxT
p2
sin)(),(
. (2.11)
Ïîäñòàíîâêà (2.11) â (2.10), äàåò óðàâíåíèå
åå
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
n
n
n
n
L
nx
L
n
tb
L
nx
tb
pp
h
p 2
sin
2
)(
2
sin)(
2
&
, (2.12)
êîòîðîå ðàñïàäàåòñÿ íà îòäåëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ êàæäîé ãàðìîíèêè (äëÿ
ýòîãî äîñòàòî÷íî óìíîæèòü óðàâíåíèå íà )/2sin( Lm
p
è ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî
ðàññìàòðèâàåìîìó îòðåçêó)
)(
2
)(
2
tb
L
m
tb
mm
h
p
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
&
. (2.13)
Ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ñòàíîâèòñÿ â ðåçóëüòàòå òðèâèàëüíûì:
ïîñëå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä äëÿ êàæäîé ãàðìîíèêè èìååòñÿ ðåøåíèå (2.13),
èìåÿ êîòîðûå, ìîæíî âîññòàíîâèòü ïî (2.11) ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â
ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè.
58




        2.4 Ñïåêòðû Ô óðüå


        2.4.1 Í åïðåðûâíîåè äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ô óðüå

      Àíàëèç Ô óðüå èãðàåò îñîáóþ ðîëü ïðè èññëåäîâàíèè íå òîëüêî ïå-
ðèîäè÷åñêèõ, íî òàêæå êâàçèïåðèîäè÷åñêèõ è ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ. Â
êîíòåêñòå çàäà÷, ðàññìàòðèâàåìûõ â ýòîé ãëàâå, îí èíòåðåñóåò íàñ êàê èí-
ñòðóìåíò, ïîçâîëÿþ ù èé îòëè÷àòü ïåðèîäè÷åñêèå ðåæèìû îò ñòîõàñòè÷å-
ñêèõ, íî çíà÷åíèå ìåòîäà Ô óðüå â èçó÷åíèè ïðîáëåìû òóðáóëåíòíîñòè ýòèì
íå èñ÷åðïûâàåòñÿ.  äàëüíåéø åì ìû óâèäèì, íàñêîëüêî îí ïîëåçåí ïðè
÷èñëåííîì èññëåäîâàíèè òóðáóëåíòíûõ ïîòîêîâ è ïðè îáðàáîòêå ðåçóëü-
òàòîâ èçìåðåíèé. Âñå ýòî äåëàåò íåîáõîäèìûì êðàòêîå èçëîæåíèÿ îñíîâ-
íûõ ñâîéñòâ íåïðåðûâíîãî è äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ô óðüå.
      Í àïîìíèì, ÷òî Ô óðüå ïðåäëîæèë ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ðÿä ïî ãàð-
ìîíè÷åñêèì ôóíêöèÿì êàê ìåòîä ðåø åíèÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè,
êîòîðîå â îäíîìåðíîì ñëó÷àå èìååò âèä
                              ¶t T = h¶ xxT .                      (2.10)

     Åñëè çàäà÷à ðåø àåòñÿ íà îòðåçêå (0,L) è èìååò, íàïðèìåð, íóëåâûå
ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, òî òåìïåðàòóðà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðÿäîì

                                                       æ 2pnx ö
                             T ( x, t ) = å bn (t )sin ç      ÷.                    (2.11)
                                          n            è L ø

     Ï îäñòàíîâêà (2.11) â (2.10), äàåò óðàâíåíèå
                                                                   2
                                    æ 2pnx ö                æ 2pn ö     æ 2pnx ö
                   ån
                        b&n (t )sin ç
                                    è L ø
                                           ÷ = - h å bn (t )ç
                                                   n        è L ø
                                                                  ÷ sin ç
                                                                        è L ø
                                                                               ÷,   (2.12)


êîòîðîå ðàñïàäàåòñÿ íà îòäåëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ êàæäîé ãàðìîíèêè (äëÿ
ýòîãî äîñòàòî÷íî óìíîæèòü óðàâíåíèå íà sin(2pm / L) è ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî
ðàññìàòðèâàåìîìó îòðåçêó)
                                                         2
                                                  æ 2pm ö
                                     b&m (t ) = - ç     ÷ hbm (t ) .                (2.13)
                                                  è L ø

     Ðåø åíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ñòàíîâèòñÿ â ðåçóëüòàòå òðèâèàëüíûì:
ïîñëå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä äëÿ êàæäîé ãàðìîíèêè èìååòñÿ ðåø åíèå (2.13),
èìåÿ êîòîðûå, ìîæíî âîññòàíîâèòü ïî (2.11) ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â
ëþ áîé ìîìåíò âðåìåíè.

Страницы