Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

59
 îáùåì ñëó÷àå ïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ )(tf ñ ïåðèîäîì
T
, äëÿ êî-
òîðîé ñóùåñòâóåò èíòåãðàë
ò
+
-
2/
2/
|)(|
T
T
dttf , ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå:
( )
tin
n n
nnn
ectnbtna
a
tf
0
0
00
0
)sin()cos(
2
)(
w
ww
å å
¥
=
¥
-¥=
=++=
, (2.14)
ãäå T/2
0
pw = , à êîýôôèöèåíòû Ôóðüå îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè:
ò
-
=
2/
2/
0
)cos()(
2
T
T
n
dttntf
T
a w ,
ò
-
=
2/
2/
0
)sin()(
2
T
T
n
dttntf
T
b w , (2.15)
ò
-
-
-
==
2/
2/
*
0
)(
1
T
T
ti
nn
dtetf
T
cc
w
, (2.16)
ãäå çâåçäî÷êîé îáîçíà÷åíî êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå.
Äåéñòâèòåëüíóþ ôóíêöèþ )(tf ìîæíî ïðåäñòàâèòü èíòåãðàëîì Ôó-
ðüå, åñëè äëÿ íåå ñóùåñòâóåò èíòåãðàë
ò
+¥
¥-
dttf |)(| . Òîãäà
ò
+¥
¥-
= nn
np
deftf
ti2
)(
?
)( , (2.17)
ò
+¥
¥-
-
= dtetff
tinp
n
2
)()(
?
. (2.18)
Çäåñü )(
?
nf åñòü ôóðüå-îáðàç ôóíêöèè )(tf ,
n
- ÷àñòîòà (áóäåì òàêæå
ïîëüçîâàòüñÿ êðóãîâîé ÷àñòîòîé
pn
w
2
=
). Îòìåòèì, ÷òî êîãäà ðå÷ü èäåò î
ïðåîáðàçîâàíèè Ôóðüå îò ôóíêöèè êîîðäèíàò )(xf , òî â ïðåîáðàçîâàíèè
âìåñòî ÷àñòîò ïîÿâëÿþòñÿ âîëíîâûå ÷èñëà k è
g
(
pg
2
=
k , â ïîëíîé àíàëî-
ãèè ñ ÷àñòîòàìè).
2.4.2 Îñíîâíûå ñâîéñòâà ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ïðèâåäåì ôîðìóëèðîâêè îñíîâíûõ òåîðåì, êàñàþùèõñÿ ñâîéñòâ íå-
ïðåðûâíîãî ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîìíÿ ïðè ýòîì, ÷òî âñå îíè èìåþò
ïðÿìîé àíàëîã â òåðìèíàõ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Èòàê, ïóñòü )(xf - äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò
èíòåãðàë
ò
+¥
¥-
dxxf |)(| . Òîãäà
                                                                                                                            59




        îáù åì ñëó÷àå ïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ f (t ) ñ ïåðèîäîì T , äëÿ êî-
                                                    + T /2
òîðîé ñóù åñòâóåòèíòåãðàë ò- T / 2 | f (t ) | dt , ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Ô óðüå:

                                         ¥                                                     ¥
                               a0
                    f (t ) =
                               2
                                  +    å (a n cos(nw 0 t ) +
                                        n =0
                                                                        bn sin( nw 0 t ) )=   åce
                                                                                              n=- ¥
                                                                                                      n
                                                                                                          inw 0 t
                                                                                                                    ,   (2.14)


ãäå w 0 = 2p / T , à êîýôôèöèåíòû Ô óðüå îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè:

                    T /2                                                             T /2
               2                                                            2
               T - Tò/ 2                                                    T - Tò/ 2
          an =          f (t ) cos(nw 0 t )dt ,                        bn =         f (t ) sin( nw 0 t )dt ,            (2.15)
                                T /2
                            1
                            T - Tò/ 2
           c n = c -* n =            f (t )e - iw 0t dt ,                                                               (2.16)


ãäå çâåçäî÷êîé îáîçíà÷åíî êîìïëåêñíîåñîïðÿæåíèå.

       Äåéñòâèòåëüíóþ ôóíêöèþ f (t ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü èíòåãðàëîì Ô ó-
                                                                            +¥
ðüå, åñëè äëÿ íååñóù åñòâóåòèíòåãðàë ò- ¥ | f (t ) | dt . Òîãäà

                                                          +¥

                                                          òf?(n )e
                                                                       2pin t
                                               f (t ) =                         dn ,                                    (2.17)
                                                          -¥
                                                           +¥

                                                            òf (t )e
                                                                       - 2pin t
                                               f?(n ) =                           dt .                                  (2.18)
                                                          -¥



      Çäåñü f?(n ) åñòü ôóðüå-îáðàç ôóíêöèè f (t ) , n - ÷àñòîòà (áóäåì òàêæå
ïîëüçîâàòüñÿ êðóãîâîé ÷àñòîòîé w = 2pn ). Îòìåòèì, ÷òî êîãäà ðå÷ü èäåò î
ïðåîáðàçîâàíèè Ô óðüå îò ôóíêöèè êîîðäèíàò f (x) , òî â ïðåîáðàçîâàíèè
âìåñòî ÷àñòîò ïîÿâëÿþòñÿ âîëíîâûå ÷èñëà k è g ( k = 2pg, â ïîëíîé àíàëî-
ãèè ñ ÷àñòîòàìè).


           2.4.2 Îñíîâíûåñâîéñòâà ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèÿ

     Ï ðèâåäåì ôîðìóëèðîâêè îñíîâíûõ òåîðåì, êàñàþ ù èõñÿ ñâîéñòâ íå-
ïðåðûâíîãî ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîìíÿ ïðè ýòîì, ÷òî âñå îíè èìåþ ò
ïðÿìîé àíàëîãâòåðìèíàõ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.
     È òàê, ïóñòü f (x) - äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, äëÿ êîòîðîé ñóù åñòâóåò
             +¥
èíòåãðàë ò- ¥ | f ( x) | dx . Òîãäà

Страницы