Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

61
8. Òåîðåìà î êîìïëåêñíîì ñîïðÿæåíèè:
(
)
(
)
kffF
~
-=
**
)
. (2.27)
Åñëè f - âåùåñòâåííîå ÷èñëî, òî
(
)
(
)
(
)
kffF
~
fF
~
-==
**
)
ò.å.
(
)
(
)
kfkf -=
*
)
)
2.4.3 Ñïåêòðû
Ïóñòü èìååòñÿ âðåìåííîé ñèãíàë )(tf , äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóþò ïðå-
îáðàçîâàíèÿ (2.17)-(2.18). Äëÿ ýòîãî ñèãíàëà ìîæíî ââåñòè êîððåëÿöèèîí-
íóþ ôóíêöèþ (àâòîêîððåëÿöèþ)
ò
+=
¥®
T
T
dttftf
T
C
0
)()(
1
lim)( tt . (2.28)
Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ (2.28) åñòü ñðåäíåå ïðîèçâåäåíèå äâóõ çíà÷åíèé
ñèãíàëà, ñäâèíóòûõ íà âåëè÷èíó
t
è õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü çàâèñèìîñòè òå-
êóùåãî çíà÷åíèÿ ñèãíàëà îò åãî ïðåäûäóùèõ çíà÷åíèé.
Ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ñèãíàëà )(tf íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ
2
|)(f|)(F nn
)
= . Ñâÿçü ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ñ àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíê-
öèåé óñòàíàâëèâàåò òåîðåìà Õèí-
÷èíà-Âèíåðà:
ò
+¥
¥-
-
= ttn
tnp
deÑF
i2
)()( . (2.29)
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî îáðà-
áàòûâàåìûå ñèãíàëû ïðåäñòàâëÿ-
þò ñîáîé, êàê ïðàâèëî, ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü äèñêðåòíûõ òî÷åê (ïî
êðàéíåé ìåðå, ñèãíàë ñòàíîâèòñÿ
òàêîâûì íà ýòàïå ââîäà â öèôðî-
âóþ âû÷èñëèòåëüíóþ ìàøèíó). Â
ýòîì ñëó÷àå ïðèõîäèòñÿ èìåòü äå-
ëî ñ êîíå÷íîé âûáîðêîé è âàæíîé
ñòàíîâèòñÿ òåîðåìà Êîòåëüíèêîâà, óòâåðæäàþùàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ )(tf ,
ñïåêòð êîòîðîé îãðàíè÷åí êîíå÷íûì èíòåðâàëîì ÷àñòîò
maxmax
nnn <<- , îä-
íîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðêîé íà äèñêðåòíîì ìíîæåñòâå òî÷åê ñ øàãîì
Ðèñ.
2.14.
                                                                                                61




8. Òåîðåìà î êîìïëåêñíîì ñîïðÿæåíèè:
                                                            )
                                                 F ( f * )= f * (- k ).
                                                 ~
                                                                                            (2.27)
                                                                          )      )   )
Åñëè f - âåù åñòâåííîå ÷èñëî, òî F~ ( f * )= F~ ( f )= f * (- k ) ò.å. f (k )= f * (- k )


           2.4.3 Ñïåêòðû

     Ï óñòü èìååòñÿ âðåìåííîé ñèãíàë f (t ) , äëÿ êîòîðîãî ñóù åñòâóþò ïðå-
îáðàçîâàíèÿ (2.17)-(2.18). Äëÿ ýòîãî ñèãíàëà ìîæíî ââåñòè êîððåëÿöèèîí-
íóþ ôóíêöèþ (àâòîêîððåëÿöèþ )
                                                           T
                                                         1
                                           C (t ) = lim òf (t ) f (t + t )dt .              (2.28)
                                                    T® ¥ T
                                                           0



Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ (2.28) åñòü ñðåäíåå ïðîèçâåäåíèå äâóõ çíà÷åíèé
ñèãíàëà, ñäâèíóòûõ íà âåëè÷èíó t è õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü çàâèñèìîñòè òå-
êóù åãî çíà÷åíèÿ ñèãíàëà îò åãî ïðåäûäóù èõ çíà÷åíèé.
          Ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ñèãíàëà f (t ) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ
           )
F ( n ) =| f ( n ) |2 . Ñâÿçü ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ñ àâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíê-
öèåé óñòàíàâëèâàåò òåîðåìà Õèí-
÷èíà-Âèíåðà:
                 +¥
         F (n ) = òÑ (t )e
                             - 2pin t
                                        dt .     (2.29)
                 -¥


      Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî îáðà-
áàòûâàåìûå ñèãíàëû ïðåäñòàâëÿ-
þ ò ñîáîé, êàê ïðàâèëî, ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü äèñêðåòíûõ òî÷åê (ïî
êðàéíåé ìåðå, ñèãíàë ñòàíîâèòñÿ
òàêîâûì íà ýòàïå ââîäà â öèôðî-
âóþ âû÷èñëèòåëüíóþ ìàø èíó).                 Ðèñ. 2.14.
ýòîì ñëó÷àå ïðèõîäèòñÿ èìåòü äå-
ëî ñ êîíå÷íîé âûáîðêîé è âàæíîé
ñòàíîâèòñÿ òåîðåìà Êîòåëüíèêîâà, óòâåðæäàþ ù àÿ, ÷òî ôóíêöèÿ f (t ) ,
ñïåêòð êîòîðîé îãðàíè÷åí êîíå÷íûì èíòåðâàëîì ÷àñòîò - n max < n < n max , îä-
íîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðêîé íà äèñêðåòíîì ìíîæåñòâå òî÷åê ñ ø àãîì

Страницы