Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

57
nn
n
iiii
ii
n
PPK
........
...
00
0
ln
å
-= .
Òîãäà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ñèñòåìà ïðîøëà öåïî÷êó ñîñòîÿíèé
n
ii ...
0
, òî äëÿ
ïðåäñêàçàíèÿ ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû íà ñëåäóþùåì øàãå òðåáóåòñÿ äîïîëíè-
òåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ
nn
KK -
+1
. Èíà÷å ãîâîðÿ, ýòà ðàçíîñòü îïèñûâàåò ïîòå-
ðþ èíôîðìàöèè íà øàãå 1
+
n .
Ýíòðîïèÿ Êîëìîãîðîâà ââîäèòñÿ êàê õàðàêòåðèñòèêà ñêîðîñòè ïîòå-
ðè èíôîðìàöèè
mm
m
iiii
ii
ml
nn
m
n
ml
PP
m
KK
m
K
........
...
00
1
1
0
00
00
0
ln
1
limlimlim)(
1
limlimlim
åå
¥®®®
+
-
=
¥®®®
-=-=
tt
tt
. (2.9)
Ïðîöåäóðó âû÷èñëåíèÿ ýíòðîïèè èëëþñòðèðóåò ðèñóíîê 2.13 íà ïðè-
ìåðå îäíîìåðíîé ñèñòåìû ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì. Îñü àáñöèññ ñîîòâåòñò-
âóåò âðåìåíè, ðàçáèòîìó íà èíòåðâàëû äëèíîé
t
. Ïðè ðàññìîòðåíèè äèñ-
êðåòíîãî âðåìåíè ïðåäåë ïî
t
íå áåðåòñÿ. Âåðîÿòíîñòü lP
i
=
0
, à ÷èñëî ÿ÷ååê,
â êîòîðûå ìîæåò ïîïàñòü ñèñòåìà íà ñëåäóþùåì øàãå ïóñòü îñòàåòñÿ ïî-
ñòîÿííûì è ðàâíûì N . Òîãäà âåðîÿòíîñòü NlP
ii
/
10
= ,
2
/
210
NlP
iii
= , à
m
ii
NlP
m
/
...
0
= . Òîãäà îáùåå ÷èñëî âîçìîæíûõ òðàåêòîðèé åñòü lNM
m
/= è
.ln)ln(ln
1
limlimln
1
limlim
0
........
1
0
00
NNml
N
l
M
m
PP
m
K
m
ml
iiii
M
ml
mm
=--=-=
¥®®¥®®
å
Íà ðèñ.2.13à ïîêàçàí ïðèìåð ðåãóëÿðíîãî äâèæåíèÿ, êîãäà èç ÿ÷åéêè
0
i ñèñòåìà îäíîçíà÷íî ïåðåõîäèò â äàííóþ ÿ÷åéêó
1
i è ò.ä., à ïåðâîíà÷àëüíî
áëèçêèå òðàåêòîðèè îñòàþòñÿ áëèçêèìè.  ýòîì ñëó÷àå 1
=
N è 0
=
K . Â ñëó-
÷àå, ïîêàçàííîì íà ðèñ.2.13á, áëèçêèå òðàåêòîðèè ðàñõîäÿòñÿ ýêñïîíåíöè-
àëüíî è
l
eN = . Òîãäà
l
=
K è, êàê âèäèì, Ê - ýíòðîïèÿ ñîâïàäàåò â ýòîì
ñëó÷àå ñ ïîêàçàòåëåì Ëÿïóíîâà. Ïîñëåäíèé ñëó÷àé (ðèñ.2.13â) ñîîòâåòñòâó-
åò ñëó÷àéíîé ñèñòåìå, â êîòîðîé íà êàæäîì øàãå ñèñòåìà ñ ðàâíîé âåðîÿò-
íîñòüþ îêàçûâàåòñÿ â ëþáîé ÿ÷åéêå. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî
¥
®
N è
¥
®
K .
                                                                                                                                                  57



                                                 Kn = -   å
                                                          i0 ...in
                                                                     Pi0 ....in ln Pi0 ....in .


Òîãäà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ñèñòåìà ïðîø ëà öåïî÷êó ñîñòîÿíèé i0 ...in , òî äëÿ
ïðåäñêàçàíèÿ ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû íà ñëåäóþ ù åì ø àãå òðåáóåòñÿ äîïîëíè-
òåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ K n+ 1 - K n . È íà÷å ãîâîðÿ, ýòà ðàçíîñòü îïèñûâàåò ïîòå-
ðþ èíôîðìàöèè íà ø àãå n + 1 .
     Ýíòðîïèÿ Êîëìîãîðîâà ââîäèòñÿ êàê õàðàêòåðèñòèêà ñêîðîñòè ïîòå-
ðè èíôîðìàöèè
                                          m- 1
                                      1                                                            1
             K = lim lim lim
                  t ® 0 l ® 0 m® ¥   mt
                                          å
                                          n=0
                                                 ( K n + 1 - K n ) = - lim lim lim
                                                                            t ® 0 l ® 0 m® ¥      mt
                                                                                                        å
                                                                                                       i0 ...im
                                                                                                                  Pi0 ....im ln Pi0 ....im .   (2.9)


         Ï ðîöåäóðó âû÷èñëåíèÿ ýíòðîïèè èëëþ ñòðèðóåò ðèñóíîê 2.13 íà ïðè-
ìåðå îäíîìåðíîé ñèñòåìû ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì. Îñü àáñöèññ ñîîòâåòñò-
âóåò âðåìåíè, ðàçáèòîìó íà èíòåðâàëû äëèíîé t . Ï ðè ðàññìîòðåíèè äèñ-
êðåòíîãî âðåìåíè ïðåäåë ïî t íå áåðåòñÿ. ÂåðîÿòíîñòüPi = l , à ÷èñëî ÿ÷ååê,                                          0

â êîòîðûå ìîæåò ïîïàñòü ñèñòåìà íà ñëåäóþ ù åì ø àãå ïóñòü îñòàåòñÿ ïî-
ñòîÿííûì è ðàâíûì N . Òîãäà âåðîÿòíîñòü Pi i = l / N , Pi i i = l / N 2 , à                             01                          01 2


Pi ...i = l / N m . Òîãäà îáù åå÷èñëî âîçìîæíûõ òðàåêòîðèé åñòü M = N m / l è
 0   m




                            1 M                                         1  l
         K = - lim lim
               l ® 0 m® ¥
                              å
                            m 1
                                Pi0 ....im ln Pi0 ....im = - lim lim M m (ln l - m ln N ) = ln N .
                                                             l ® 0 m® ¥ m N

      Í à ðèñ.2.13à ïîêàçàí ïðèìåð ðåãóëÿðíîãî äâèæåíèÿ, êîãäà èç ÿ÷åéêè
i0 ñèñòåìà îäíîçíà÷íî ïåðåõîäèò â äàííóþ ÿ÷åéêó i1 è ò.ä., à ïåðâîíà÷àëüíî
áëèçêèå òðàåêòîðèè îñòàþ òñÿ áëèçêèìè.  ýòîì ñëó÷àå N = 1 è K = 0 .  ñëó-
÷àå, ïîêàçàííîì íà ðèñ.2.13á, áëèçêèå òðàåêòîðèè ðàñõîäÿòñÿ ýêñïîíåíöè-
àëüíî è N = e l . Òîãäà K = l è, êàê âèäèì, Ê - ýíòðîïèÿ ñîâïàäàåò â ýòîì
ñëó÷àå ñ ïîêàçàòåëåì Ëÿïóíîâà. Ï îñëåäíèé ñëó÷àé (ðèñ.2.13â) ñîîòâåòñòâó-
åò ñëó÷àéíîé ñèñòåìå, â êîòîðîé íà êàæäîì ø àãå ñèñòåìà ñ ðàâíîé âåðîÿò-
íîñòüþ îêàçûâàåòñÿ â ëþáîé ÿ÷åéêå. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî N ® ¥ è
K® ¥.

Страницы