Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

67
2.6 Ôðàêòàëû
2.6.1 Ïîíÿòèå ôðàêòàëà
Ïóñòü èìååòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ â íåêîòîðîì ïðî-
ñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòüþ
D
. Ââåäåì ñôåðó ðàäèóñà
r
(ãèïåðñôåðó, åñëè
3
>
D ) è áóäåì ïîäñ÷èòûâàòü ñðåäíåå ÷èñëî òî÷åê N , ïîïàäàþùèõ â ñôåðó
ïðè ðàçëè÷íûõ åå ïîëîæåíèÿõ â ïðîñòðàíñòâå. Åñòåñòâåííî ðàññ÷èòûâàòü
íà òî, ÷òî çàâèñèìîñòü ÷èñëà òî÷åê îò ðàäèóñà ñôåðû áóäåò èìåòü ñòåïåí-
íóþ ôîðìó
d
rrN »)( (2.32)
è ðàçìåðíîñòü ìíîæåñòâà åñòü
r
rN
d
ln
)(ln
= . (2.33)
Åñëè òî÷êè ìíîæåñòâà ðàñïîëîæåíû íà ëèíèè, òî 1
=
d , åñëè îíè ëå-
æàò íà ïëîñêîñòè, òî 2
=
d , à åñëè òî÷êè çàíèìàþò âñå òðåõìåðíîå ïðî-
ñòðàíñòâî, òî îïÿòü æå ïîëó÷àåòñÿ îáû÷íàÿ (åâêëèäîâà) ðàçìåðíîñòü 3
=
d .
Ôðàêòàëàìè íàçûâàþò îáúåêòû ñ íåöåëîé ðàçìåðíîñòüþ. Ïðîñòåé-
øèì ïðèìåðîì ôðàêòàëüíîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ êàíòîðîâî ìíîæåñòâî,
ñòðîÿùååñÿ ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó. Åäèíè÷íûé îòðåçîê ðàçáèâàåòñÿ íà
òðè ðàâíûõ ÷àñòè è ñðåäíÿÿ ÷àñòü
óäàëÿåòñÿ. Íà âòîðîì øàãå êàæäûé
èç îñòàâøèõñÿ äâóõ îòðåçêîâ ñíîâà
äåëèòñÿ íà òðè ÷àñòè ñ ïîñëåäóþ-
ùèì óäàëåíèåì öåíòðàëüíûõ ÷àñ-
òåé. Ïðîöåäóðà ïîâòîðÿåòñÿ äî
áåñêîíå÷íîñòè (ðèñ.2.19). Òàêèì
îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ òàêîå ìíîæå-
ñòâî, ÷òî ëþáîé ñêîëü óãîäíî ìà-
ëûé îáúåì îáëàñòè îáÿçàòåëüíî
ñîäåðæèò òî÷êè, ýòîìó ìíîæåñòâó
íå ïðèíàäëåæàùèå.
Îöåíèì ðàçìåðíîñòü ïîñòðî-
åííîãî ìíîæåñòâà ïî ôîðìóëå (2.33). Èç ïðîöåäóðû ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà
ñëåäóåò, ÷òî ïðè êàæäîì óâåëè÷åíèè ðàäèóñà ñôåðû â òðè ðàçà, ÷èñëî òî-
÷åê, â íåå ïîïàäàþùèõ, óâåëè÷èâàåòñÿ âäâîå (
nn
Nr 2,3 »» ). Ñëåäîâàòåëü-
íî,
Ðèñ.
2.19.
                                                                            67




           2.6 Ô ðàêòàëû

           2.6.1 Ï îíÿòèå ôðàêòàëà
       Ï óñòü èìååòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ â íåêîòîðîì ïðî-
ñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòüþ D . Ââåäåì ñôåðó ðàäèóñà r (ãèïåðñôåðó, åñëè
D > 3 ) è áóäåì ïîäñ÷èòûâàòü ñðåäíåå ÷èñëî òî÷åê N , ïîïàäàþ ù èõ â ñôåðó
ïðè ðàçëè÷íûõ åå ïîëîæåíèÿõ â ïðîñòðàíñòâå. Åñòåñòâåííî ðàññ÷èòûâàòü
íà òî, ÷òî çàâèñèìîñòü ÷èñëà òî÷åê îò ðàäèóñà ñôåðû áóäåò èìåòü ñòåïåí-
íóþ ôîðìó

      N (r ) » r d                            (2.32)
     è ðàçìåðíîñòü ìíîæåñòâà åñòü
           ln N (r )
      d=             .                        (2.33)
             ln r

      Åñëè òî÷êè ìíîæåñòâà ðàñïîëîæåíû íà ëèíèè, òî d = 1 , åñëè îíè ëå-
æàò íà ïëîñêîñòè, òî d = 2 , à åñëè òî÷êè çàíèìàþ ò âñå òðåõìåðíîå ïðî-
ñòðàíñòâî, òî îïÿòü æå ïîëó÷àåòñÿîáû÷íàÿ (åâêëèäîâà) ðàçìåðíîñòü d = 3 .
      Ô ðàêòàëàìè íàçûâàþ ò îáúåêòû ñ íåöåëîé ðàçìåðíîñòüþ. Ï ðîñòåé-
ø èì ïðèìåðîì ôðàêòàëüíîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ êàíòîðîâî ìíîæåñòâî,
ñòðîÿù ååñÿ ïî ñëåäóþ ù åìó ïðàâèëó. Åäèíè÷íûé îòðåçîê ðàçáèâàåòñÿ íà
                                       òðè ðàâíûõ ÷àñòè è ñðåäíÿÿ ÷àñòü
                                       óäàëÿåòñÿ. Í à âòîðîì ø àãå êàæäûé
                                       èç îñòàâø èõñÿ äâóõ îòðåçêîâ ñíîâà
                                       äåëèòñÿ íà òðè ÷àñòè ñ ïîñëåäóþ -
                                       ù èì óäàëåíèåì öåíòðàëüíûõ ÷àñ-
                                       òåé. Ï ðîöåäóðà ïîâòîðÿåòñÿ äî
                                       áåñêîíå÷íîñòè (ðèñ.2.19). Òàêèì
                                       îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ òàêîå ìíîæå-
                                       ñòâî, ÷òî ëþ áîé ñêîëü óãîäíî ìà-
                                       ëûé îáúåì îáëàñòè îáÿçàòåëüíî
                                       ñîäåðæèò òî÷êè, ýòîìó ìíîæåñòâó
               Ðèñ. 2.19.              íå ïðèíàäëåæàù èå.
                                             Îöåíèì ðàçìåðíîñòü ïîñòðî-
åííîãî ìíîæåñòâà ïî ôîðìóëå(2.33). È çïðîöåäóðû ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà
ñëåäóåò, ÷òî ïðè êàæäîì óâåëè÷åíèè ðàäèóñà ñôåðû â òðè ðàçà, ÷èñëî òî-
÷åê, â íåå ïîïàäàþ ù èõ, óâåëè÷èâàåòñÿ âäâîå ( r » 3n , N » 2 n ). Ñëåäîâàòåëü-
íî,

Страницы