Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

70
èìåþùåå òðè êîðíÿ )2/32/1,2/32/1,1( ii --+- , è èñïîëüçóåòñÿ èòåðàöèîí-
íûé ìåòîä Íüþòîíà äëÿ åãî ðåøåíèÿ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ óðàâíåíèÿ
0)(
=
zf ñòðîèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé
n
z , òàêèõ, ÷òî
0)()()(
1
=
¢
-+
+ nnnn
zfzzzf .
 íàøåì ñëó÷àå ýòî ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþ
2
3
1
3
1
n
n
nn
z
z
zz
-
-=
+
. (2.35)
Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (2.35) ñòàðòóåò ñ ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé
0
z
íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè è ïðèâîäèò, â êîíöå êîíöîâ, ê îäíîìó èç òðåõ
êîðíåé óðàâíåíèÿ. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîñòðîèòü ãðàíèöó ðàçäåëà
òðåõ îáëàñòåé ïðèòÿæåíèÿ. Òàêèå ãðàíèöû íàçûâàþòñÿ ìíîæåñòâàìè Æþ-
ëèà (çàäà÷à Æþëèà äàòèðóåòñÿ 1918 ãîäîì !) è îáëàäàþò çàìå÷àòåëüíûì
ñâîéñòâîì: êàæäàÿ òî÷êà ãðàíèöû ðàçäåëÿåò âñå òðè îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ.
Ìíîæåñòâà Æþëèà ñòðîÿòñÿ è äëÿ ëîãèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
Czz
nn
+=
+
2
1
,
äëÿ êîòîðîãî ïîêàçàíî (Ìàíäåëüáðîò, 1980ã.), ÷òî óðàâíåíèå ñóùåñòâóåò
òîëüêî äëÿ îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèé C íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ïðèíÿâ çà
ëèíèþ óðîâíÿ ÷èñëî èòåðàöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïîïàäàíèå â
e
-
îêðåñòíîñòü ðåøåíèÿ è ðèñóÿ ðàçíûå óðîâíè ðàçíûìè öâåòàìè, ïîëó÷àþò
æèâîïèñíûå êàðòèíêè, óêðàøàþùèå ìíîãèå êíèãè è æóðíàëüíûå ñòàòüè.
Ìû íå ïðèâîäèì èõ èç-çà áåäíîñòè ÷åðíî-áåëîãî ïðåäñòàâëåíèÿ è îòñûëàåì
ê ñîîòâåòñòâóþùèì èçäàíèÿì (ñì. ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû).
Ýñòåòè÷åñêîå íàñëàæäåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü è îò ðàññìàòðèâàíèÿ èçî-
áðàæåíèé àòòðàêòîðîâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ïðèìåðû êîòîðûõ ìîæíî âè-
äåòü íà ðèñóíêå 2.21. (Íà ðèñóíêå, âçÿòîì èç êíèãè Ã.Øóñòåðà «Äåòåðìåíè-
ðîâàííûé õàîñ», ïîêàçàíû ïðèìåðû ñòðàííîãî àòòðàêòîðà è ñå÷åíèÿ Ïóàí-
êàðå, ïîëó÷åííûå ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ äëÿ íåëèíåéíûõ îñöèëÿòîðîâ.)
Âñïîìèíàÿ, ÷òî èìåííî ðàçìåðíîñòü àòòðàêòîðîâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ
õàîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåì çàñòàâèëè íàñ îáðàòèòüñÿ ê ôðàêòàëàì, âåðíåìñÿ ê
âîïðîñó î òîì, êàê èìåííî ìîæíî èçìåðèòü ðàçìåðíîñòü àòòðàêòîðà.
2.6.2 Àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ðàçìåðíîñòè àòòðàêòîðà
70



èìåþ ù åå òðè êîðíÿ (1, - 1 / 2 + i 3 / 2, - 1 / 2 - i 3 / 2) , è èñïîëüçóåòñÿ èòåðàöèîí-
íûé ìåòîä Í üþ òîíà äëÿ åãî ðåø åíèÿ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ óðàâíåíèÿ
 f ( z ) = 0 ñòðîèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüçíà÷åíèé z n , òàêèõ, ÷òî

                               f ( z n ) + ( z n + 1 - z n ) f ¢( z n ) = 0 .

 íàø åì ñëó÷àå ýòî ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþ

                                                zn - 1
                                                   3

                             z n+ 1 = z n -             2
                                                            .                     (2.35)
                                                 3z n

È òåðàöèîííûé ïðîöåññ(2.35) ñòàðòóåòñðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõçíà÷åíèé z 0
íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè è ïðèâîäèò, â êîíöå êîíöîâ, ê îäíîìó èçòðåõ
êîðíåé óðàâíåíèÿ. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîñòðîèòü ãðàíèöó ðàçäåëà
òðåõ îáëàñòåé ïðèòÿæåíèÿ. Òàêèå ãðàíèöû íàçûâàþ òñÿìíîæåñòâàìè Æ þ -
ëèà (çàäà÷à Æ þ ëèà äàòèðóåòñÿ1918 ãîäîì !) è îáëàäàþ ò çàìå÷àòåëüíûì
ñâîéñòâîì: êàæäàÿ òî÷êà ãðàíèöû ðàçäåëÿåò âñå òðè îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ.
      Ì íîæåñòâà Æ þëèà ñòðîÿòñÿè äëÿ ëîãèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ

                                              z n + 1 = z n2 + C ,

äëÿ êîòîðîãî ïîêàçàíî (Ì àíäåëüáðîò, 1980ã.), ÷òî óðàâíåíèå ñóù åñòâóåò
òîëüêî äëÿ îïðåäåëåííûõçíà÷åíèé C íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ï ðèíÿâ çà
ëèíèþ óðîâíÿ ÷èñëî èòåðàöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïîïàäàíèå â e -
îêðåñòíîñòü ðåø åíèÿ è ðèñóÿ ðàçíûå óðîâíè ðàçíûìè öâåòàìè, ïîëó÷àþ ò
æèâîïèñíûå êàðòèíêè, óêðàø àþ ù èå ìíîãèå êíèãè è æóðíàëüíûå ñòàòüè.
Ì û íå ïðèâîäèì èõ èç-çàáåäíîñòè ÷åðíî-áåëîãî ïðåäñòàâëåíèÿ è îòñûëàåì
ê ñîîòâåòñòâóþ ù èì èçäàíèÿì (ñì. ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû).
      Ýñòåòè÷åñêîå íàñëàæäåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü è îò ðàññìàòðèâàíèÿ èçî-
áðàæåíèé àòòðàêòîðîâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ïðèìåðû êîòîðûõ ìîæíî âè-
äåòü íà ðèñóíêå 2.21. (Í à ðèñóíêå, âçÿòîì èç êíèãè Ã.Ø óñòåðà «Äåòåðìåíè-
ðîâàííûé õàîñ», ïîêàçàíû ïðèìåðû ñòðàííîãî àòòðàêòîðà è ñå÷åíèÿ Ï óàí-
êàðå, ïîëó÷åííûå ïðè ðåø åíèè óðàâíåíèÿ äëÿ íåëèíåéíûõ îñöèëÿòîðîâ.)
Âñïîìèíàÿ, ÷òî èìåííî ðàçìåðíîñòü àòòðàêòîðîâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ
õàîòè÷åñêèì ïîâåäåíèåì çàñòàâèëè íàñîáðàòèòüñÿ ê ôðàêòàëàì, âåðíåìñÿê
âîïðîñó î òîì, êàê èìåííî ìîæíî èçìåðèòü ðàçìåðíîñòü àòòðàêòîðà.



          2.6.2 Àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ðàçìåðíîñòè àòòðàêòîðà

Страницы