Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

71
Âîïðîñ îá èçìåðåíèè ðàçìåðíîñòè àòòðàêòîðà ñòàíîâèòñÿ îñîáåííî
ñëîæíûì ïðè ïîïûòêàõ îáðàáîòêè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, êîãäà äàæå
âîïðîñ î ðàçìåðíîñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, òî åñòü âîïðîñ î íåîáõîäè-
ìîì ÷èñëå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, îñòàåòñÿ îòêðûòûì. Ïîäõîä ê ðåøå-
íèþ ýòîé çàäà÷è äàåò òàê íàçûâàåìàÿ òåîðåìà Òàêêåíñà, ñóòü êîòîðîé ñî-
ñòîèò â ñëåäóþùåì.
Ïóñòü èìååòñÿ äèíàìè÷åñêàÿ
ñèñòåìà (íå ñëèøêîì áîëüøîé
ðàçìåðíîñòè N ), îïèñûâàåìàÿ
ñèñòåìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Ïðèíöèïèàëüíî, îò ñèñòåìû N
óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ìîæíî
ïåðåéòè ê äèôôåðåíöèàëüíîìó
óðàâíåíèþ N -îãî ïîðÿäêà, ñîäåð-
æàùåìó N ïðîèçâîäíûõ , íî îä-
íîé ïåðåìåííîé (íàïðèìåð, îñòà-
åòñÿ ïåðåìåííàÿ )(tX è åå ïðîèç-
âîäíûå ),(),(),( tXtXtX
&&&&&&
è ò.ä.). Ïðè
ïðåäñòàâëåíèè äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé â êîíå÷íûõ ðàçíîñòÿõ
ýòî ñîîòâåòñòâóåò îäíîâðåìåííîìó çíàíèþ âåëè÷èí
),3(),2(),(),(
t
t
t
+
+
+
tXtXtXtX è ò.ä., ãäå
t
- ïîñòîÿííàÿ. Òåîðåìà Òàêêåíñà óò-
âåðæäàåò, ÷òî êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ ñèñòåìû )(tX îòðàæàåò îñíîâíûå ñâîéñò-
âà ýòîé ñèñòåìû, à àòòðàêòîð, ïîñòðîåííûé â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ïåðå-
ìåííûõ ),......3(),2(),(),(
t
t
t
+
+
+
tXtXtXtX , ñîõðàíÿåò îñíîâíûå òîïîëîãè÷åñêèå
ñâîéñòâà àòòðàêòîðà èñõîäíîé ñèñòåìû.
Ïðàêòè÷åñêè, àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ðàçìåðíîñòè àòòðàêòîðà ñòðîèò-
ñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äëÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû )(tX âûáèðàåòñÿ õàðàê-
òåðíîå âðåìÿ ñäâèãà
t
è ñòðîèòñÿ ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ íà
p
ïåðåìåííûõ
))1((..,..........),(),(
t
t
-
+
+
ptXtXtX êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 2.22. Ýòà òðàåêòîðèÿ
ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ â
ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå âåêòîðîì
i
X
r
.  êàæäóþ èç ýòèõ òî÷åê ïîìåùàåòñÿ
ãèïåðñôåðà ðàäèóñà
r
è âû÷èñëÿåòñÿ ÷èñëî òî÷åê ôàçîâîé òðàåêòîðèè, ïî-
ïàâøèõ â ïðåäåëû ýòîé ñôåðû. Çàòåì ââîäèòñÿ ôóíêöèÿ
å
=
¥®
--=
m
ji
ji
m
XXrH
m
rC
1,
2
|)|(
1
lim)(
rr
, (2.36)
Ðèñ.
2.22.
                                                                                              71



         Âîïðîñ îá èçìåðåíèè ðàçìåðíîñòè àòòðàêòîðà ñòàíîâèòñÿ îñîáåííî
ñëîæíûì ïðè ïîïûòêàõ îáðàáîòêè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, êîãäà äàæå
âîïðîñ î ðàçìåðíîñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, òî åñòü âîïðîñ î íåîáõîäè-
ìîì ÷èñëå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, îñòàåòñÿ îòêðûòûì. Ï îäõîä ê ðåø å-
íèþ ýòîé çàäà÷è äàåò òàê íàçûâàåìàÿ òåîðåìà Òàêêåíñà, ñóòü êîòîðîé ñî-
ñòîèò â ñëåäóþù åì.
         Ï óñòü èìååòñÿ äèíàìè÷åñêàÿ
ñèñòåìà (íå ñëèø êîì áîëüø îé
ðàçìåðíîñòè N ), îïèñûâàåìàÿ
ñèñòåìîé                     äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé                  ïåðâîãî              ïîðÿäêà.
Ï ðèíöèïèàëüíî, îò ñèñòåìû N
óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ìîæíî
ïåðåéòè ê äèôôåðåíöèàëüíîìó
óðàâíåíèþ N -îãî ïîðÿäêà, ñîäåð-
æàù åìó N ïðîèçâîäíûõ , íî îä-
íîé ïåðåìåííîé (íàïðèìåð, îñòà-
åòñÿ ïåðåìåííàÿ X (t ) è åå ïðîèç-
âîäíûå X&(t ), X&&(t ), X&&&(t ), è ò.ä.). Ï ðè
ïðåäñòàâëåíèè äèôôåðåíöèàëüíûõ                                            Ðèñ. 2.22.
óðàâíåíèé â êîíå÷íûõ ðàçíîñòÿõ
ýòî             ñîîòâåòñòâóåò                         îäíîâðåìåííîìó       çíàíèþ         âåëè÷èí
X (t ), X (t + t ), X (t + 2t ), X (t + 3t ), è ò.ä., ãäå t - ïîñòîÿííàÿ. Òåîðåìà Òàêêåíñà óò-
âåðæäàåò, ÷òî êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ ñèñòåìû X (t ) îòðàæàåò îñíîâíûå ñâîéñò-
âà ýòîé ñèñòåìû, à àòòðàêòîð, ïîñòðîåííûé â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ïåðå-
ìåííûõ X (t ), X (t + t ), X (t + 2t ), X (t + 3t ),...... , ñîõðàíÿåò îñíîâíûå òîïîëîãè÷åñêèå
ñâîéñòâà àòòðàêòîðà èñõîäíîé ñèñòåìû.
         Ï ðàêòè÷åñêè, àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ðàçìåðíîñòè àòòðàêòîðà ñòðîèò-
ñÿ ñëåäóþ ù èì îáðàçîì. Äëÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû X (t ) âûáèðàåòñÿ õàðàê-
òåðíîå âðåìÿ ñäâèãà t è ñòðîèòñÿ ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ íà p ïåðåìåííûõ
X (t ), X (t + t ), ............, X (t + ( p - 1)t ) êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 2.22. Ýòà òðàåêòîðèÿ
ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê,                      r
                                                              êàæäàÿ èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ â
ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå âåêòîðîì X i .  êàæäóþ èç ýòèõ òî÷åê ïîìåù àåòñÿ
ãèïåðñôåðà ðàäèóñà r è âû÷èñëÿåòñÿ ÷èñëî òî÷åê ôàçîâîé òðàåêòîðèè, ïî-
ïàâø èõ â ïðåäåëû ýòîé ñôåðû. Çàòåì ââîäèòñÿ ôóíêöèÿ

                                        1      m          r     r
                         C (r ) = lim
                                 m® ¥   m2
                                             å H (r -
                                             i , j =1
                                                        | X i - X j |) ,                 (2.36)

Страницы