Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

73
2.6.3 Îáîáùåííàÿ ðàçìåðíîñòü
Ïóñòü ñèñòåìà ýâîëþöèîíèðóåò â íåêîòîðîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå.
Ðàçîáüåì ýòî ïðîñòðàíñòâî íà ÿ÷åéêè (n-ìåðíûå êóáèêè) ñ ðåáðîì l (âñåãî
M
ÿ÷ååê) è âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñèñòåìû â êàæäóþ
i
-òóþ
ÿ÷åéêó
N
n
p
i
N
i
¥®
= lim .
Ãäå
i
n - ÷èñëî òî÷åê, ïîïàâøèõ â äàííóþ ÿ÷åéêó, à N - îáùåå ÷èñëî ðàññìîò-
ðåííûõ òî÷åê.
Îáîáùåííàÿ ðàçìåðíîñòü (ðàçìåðíîñòü Ðåíè) îïðåäåëÿåòñÿ êàê
l
p
q
D
M
i
q
i
l
q
ln
ln
1
1
lim
1
0
å
=
®
-
=
. (2.37)
Òàêèì îáðàçîì ââîäèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåëè÷èí
q
D , ñâÿçàííûõ ñ ñî-
îòâåòñòâóþùèìè ìîìåíòàìè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè. Ïîñìîòðèì, êà-
êîé ñìûñë èìååò ýòà âåëè÷èíà ïðè êîíêðåòíûõ çíà÷åíèÿõ
q
.
1) 0
=
q . Òîãäà
l
p
D
M
i
i
l
ln
ln
lim
1
0
0
0
å
=
®
=
ñóììà â ÷èñëèòåëå ðàâíà ÷èñëó ÿ÷ååê, â êîòîðûõ îêàçàëàñü õîòÿ áû îäíà
òî÷êà. Ñëåäîâàòåëüíî,
)/1ln(
)(ln
lim
0
0
l
lN
D
l®
= , (2.38)
ãäå )(lN åñòü ÷èñëî ÿ÷ååê, ñîäåðæàùèõ òî÷êè, è (2.38) ñîâïàäàåò, òà-
êèì îáðàçîì, ñ îïðåäåëåíèåì ðàçìåðíîñòè Õàóñäîðôà (2.34).
2) 1
=
q .  ýòîì ñëó÷àå âîçíèêàåò ïðîáëåìà äåëåíèÿ íà íîëü. Ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿ ïðåäåë 1
®
q è ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ
                                                                           73




        2.6.3 Îáîáù åííàÿ ðàçìåðíîñòü

     Ï óñòü ñèñòåìà ýâîëþ öèîíèðóåò â íåêîòîðîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå.
Ðàçîáüåì ýòî ïðîñòðàíñòâî íà ÿ÷åéêè (n-ìåðíûå êóáèêè) ñ ðåáðîì l (âñåãî
M ÿ÷ååê) è âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñèñòåìû â êàæäóþ i -òóþ
ÿ÷åéêó

                                                                ni
                                           pi = lim
                                                   N® ¥
                                                                   .
                                                                N

Ãäå ni - ÷èñëî òî÷åê, ïîïàâø èõ â äàííóþ ÿ÷åéêó, à N - îáù åå÷èñëî ðàññìîò-
ðåííûõ òî÷åê.
      Îáîáù åííàÿ ðàçìåðíîñòü (ðàçìåðíîñòü Ðåíè) îïðåäåëÿåòñÿ êàê
                                               M
                                           ln å pi
                                                            q

                                     1
                         Dq = lim             i =1
                                                                .      (2.37)
                              l® 0 q - 1      ln l

Òàêèì îáðàçîì ââîäèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåëè÷èí D q , ñâÿçàííûõññî-
îòâåòñòâóþ ù èìè ìîìåíòàìè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè. Ï îñìîòðèì, êà-
êîé ñìûñë èìååò ýòà âåëè÷èíà ïðè êîíêðåòíûõçíà÷åíèÿõ q .

     1) q = 0 . Òîãäà
                                                     M
                                              ln å pi
                                                                 0


                                D0 = lim             i =1
                                      l® 0           ln l

ñóììà â ÷èñëèòåëå ðàâíà ÷èñëó ÿ÷ååê, â êîòîðûõ îêàçàëàñü õîòÿ áû îäíà
òî÷êà. Ñëåäîâàòåëüíî,
                                              ln N (l )
                                D0 = lim                 ,             (2.38)
                                       l® 0   ln(1 / l )

     ãäå N (l ) åñòü ÷èñëî ÿ÷ååê, ñîäåðæàù èõ òî÷êè, è (2.38) ñîâïàäàåò, òà-
êèì îáðàçîì, ñ îïðåäåëåíèåì ðàçìåðíîñòè Õàóñäîðôà (2.34).

          2) q = 1 .  ýòîì ñëó÷àå âîçíèêàåò ïðîáëåìà äåëåíèÿ íà íîëü. Ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿïðåäåë q ® 1 è ñ ïîìîù üþ ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ

Страницы