Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 75 стр.

                                                                                          75



Ï ðè ýòî â ñå÷åíèè Ï óàíêàðå ÷èñëî òî÷åê óäâàèâàåòñÿ, à â ñïåêòðå Ô óðüå
ïîÿâëÿåòñÿíîâàÿ ÷àñòîòà, âäâîå ìåíüø àÿ òîé, ÷òî áûëà äî áèôóðêàöèè.
     Ï ðåêðàñíîé èëëþ ñòðàöèåé ñâîéñòâ ñóáãàðìîíè÷åñêîãî êàñêàäà ÿâëÿ-
åòñÿ ðàáîòà Ô åéãåíáàóìà «Óíèâåðñàëüíîå ïîâåäåíèå êâàäðàòè÷íûõ îòî-
áðàæåíèé» (Feigenbaum M.J., The universal properties of nonlinear transfor-
mations, J.Stat.Phys., 1979, V.21, P.669.), ñîäåðæàíèå êîòîðîé ìû â îñíîâíîì
è ïîñòàðàåìñÿïåðåñêàçàòü.
     Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ïåðâîãî âîçâðàù åíèÿ

                                x k + 1 = f ( x k ) = 4mx k (1 - x k )                (2.41)

ãäå x Î [0,1] è 0 £ m £ 1 . Îòîáðàæåíèå ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé òî÷êå èç
èíòåðâàëà [0,1] äðóãóþ òî÷êó èç ýòîãî æå èíòåðâàëà. m - óïðàâëÿþ ù èé ïà-
ðàìåòð.
      Ï ðè m < 0,25 ñóù åñòâóåò òîëüêî îäíà òî÷êà, â êîòîðîé x k + 1 = x k . Ýòî
òî÷êà x = 0 è îíà óñòîé÷èâà. Äåéñòâèòåëüíî,

                                      f ¢( x) = 4m (1 - 2 x)
è
                                               f ¢(0) = 4m .

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè m < 1 / 4 ïðîèçâîäíàÿ â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ôóíêöèè




               Ðèñ. 2.25.                                                Ðèñ. 2.26.