Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

77
)484(16)(
43222
xxxxxxg mmmm -+--= .
Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè ïîêàçàí íà ðèñóíêå 2.28, à äâà âûäåëåííûõ êâàäðàòà
ïîÿñíÿþò òîò ôàêò, ÷òî â íèõ âîñïðîèçâîäèòñÿ êàðòèíêà, ïðåäñòàâëåííàÿ
íà ðèñ.2.26.  äàëüíåéøåì âñå ïîâòîðÿåòñÿ. Ôóíêöèÿ )(xg òåðÿåò óñòîé÷è-
âîñòü ïðè ...86237,04/)61(
2
=+== mm Äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ ôóíêöèÿ
)()()(
42
xfxgxh == ,
ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñ.2.29. Êâàäðàò
íà ðèñóíêå ñíîâà ïîêàçûâàåò, ÷òî
âáëèçè êàæäîé óñòîé÷èâîé òî÷êè
âîñïðîèçâîäèòñÿ ñèòóàöèÿ ðèñóíêà
2.26. Ôóíêöèÿ )(xh ñòàíîâèòñÿ íåóñ-
òîé÷èâîé ïðè 875,0
3
== mm , è ò.ä. Êà-
æäûé ðàç èìååò ìåñòü áèôóðêàöèÿ óä-
âîåíèÿ ïåðèîäà (ïåðèîä öèêëà óäâàè-
âàåòñÿ). Ôåéãåíáàóì îáíàðóæèë äâà
çàêîíà ïîäîáèÿ, õàðàêòåðèçóþùèõ
ñóáãàðìîíè÷åñêèé êàñêàä. Âî ïåðâûõ,
îí ïîêàçàë, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
i
m áûñòðî ñõîäèòñÿ
...892486418,0=
¥
m ,
è ñóùåñòâóåò ïðåäåë
d
mm
mm
=
-
-
+
-
¥®
ii
ii
i
1
1
lim .
Âàæíî, ÷òî âåëè÷èíà
d
íå çàâèñèò îò êîíêðåòíîãî âèäà ôóíêöèè )(xf (ëþ-
áàÿ âûïóêëàÿ, íåïðåðûâíàÿ, äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ñ îäíèì ìàêñè-
ìóìîì) è ðàâíà
....6692016091,4
=
d
Ýòî ïåðâûé çàêîí ïîäîáèÿ. Âòîðîé çàêîí ïîäîáèÿ êàñàåòñÿ ïîëîæåíèÿ óñ-
òîé÷èâûõ òî÷åê. Íà ðèñóíêå 2.30 ñõåìàòè÷åñêè ïîêàçàíà ñòðóêòóðà ðåøå-
íèé óðàâíåíèÿ (2.41). Ðàññìàòðèâàþòñÿ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðÿìîé 5,0
=
x
äî áëèæàéøåé ê íåé òî÷êè íà óñòîé÷èâîì
n
2
-öèêëå. Äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ
ðàññòîÿíèé
n
d ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
Ðèñ.
2.30.
                                                                                         77




                         g ( x) = 16m 2 ( x - x 2 - 4mx 2 + 8mx 3 - 4mx 4 ) .

Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè ïîêàçàí íà ðèñóíêå 2.28, à äâà âûäåëåííûõ êâàäðàòà
ïîÿñíÿþ ò òîò ôàêò, ÷òî â íèõ âîñïðîèçâîäèòñÿ êàðòèíêà, ïðåäñòàâëåííàÿ
íà ðèñ.2.26.  äàëüíåéø åì âñå ïîâòîðÿåòñÿ. Ô óíêöèÿ g (x) òåðÿåò óñòîé÷è-
âîñòü ïðè m = m 2 = (1 + 6 ) / 4 = 0,86237... Äàëååðàññìàòðèâàåòñÿôóíêöèÿ

                                     h( x ) = g 2 ( x ) = f 4 ( x ) ,

ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñ.2.29. Êâàäðàò
íà ðèñóíêå ñíîâà ïîêàçûâàåò, ÷òî
âáëèçè êàæäîé óñòîé÷èâîé òî÷êè
âîñïðîèçâîäèòñÿ ñèòóàöèÿ ðèñóíêà
2.26. Ô óíêöèÿ h(x) ñòàíîâèòñÿ íåóñ-
òîé÷èâîé ïðè m = m 3 = 0,875 , è ò.ä. Êà-
æäûé ðàç èìååò ìåñòü áèôóðêàöèÿ óä-
âîåíèÿ ïåðèîäà (ïåðèîä öèêëà óäâàè-
âàåòñÿ). Ô åéãåíáàóì îáíàðóæèë äâà
çàêîíà ïîäîáèÿ, õàðàêòåðèçóþ ù èõ
ñóáãàðìîíè÷åñêèé êàñêàä. Âî ïåðâûõ,
îí ïîêàçàë, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
mi áûñòðî ñõîäèòñÿ                                                          Ðèñ. 2.30.

            m ¥ = 0,892486418... ,

è ñóù åñòâóåò ïðåäåë
                                               mi - mi- 1
                                        lim               = d.
                                        i® ¥   mi+ 1 - mi

Âàæíî, ÷òî âåëè÷èíà d íå çàâèñèò îò êîíêðåòíîãî âèäà ôóíêöèè f (x) (ëþ -
áàÿ âûïóêëàÿ, íåïðåðûâíàÿ, äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ñ îäíèì ìàêñè-
ìóìîì) è ðàâíà

                                      d= 4,6692016091....

Ýòî ïåðâûé çàêîí ïîäîáèÿ. Âòîðîé çàêîí ïîäîáèÿ êàñàåòñÿ ïîëîæåíèÿ óñ-
òîé÷èâûõ òî÷åê. Í à ðèñóíêå 2.30 ñõåìàòè÷åñêè ïîêàçàíà ñòðóêòóðà ðåø å-
íèé óðàâíåíèÿ (2.41). Ðàññìàòðèâàþ òñÿ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðÿìîé x = 0,5
äî áëèæàéø åé ê íåé òî÷êè íà óñòîé÷èâîì 2 n -öèêëå. Äëÿ ñîîòâåòñòâóþ ù èõ
ðàññòîÿíèé d n ñïðàâåäëèâî ñîîòíîø åíèå

Страницы