Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

83
äèò äî òåõ ïîð, ïîêà íà î÷åðåäíîì âèòêå â òî÷êå ìàêñèìóìà òðàåêòîðèÿ íå
âûéäåò çà çíà÷åíèå 5,38
=
Z . Êàê òîëüêî òðàåêòîðèÿ ïðåâûñèò ýòî çíà÷åíèå,
îíà óõîäèò â îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ äðóãîãî ôîêóñà è âñå ïîâòîðÿåòñÿ âíîâü.
Ïðè ýòîì ÷èñëî âèòêîâ, êîòîðîå ñîâåðøèò òðàåêòîðèÿ, çàâèñèò îò âåëè÷è-
íû ïðåâûøåíèÿ òðàåêòîðèè íàä ýòèì êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì ïåðåä ïåðå-
áðîñîì. Ëîðåíö èñïîëüçîâàë ìåòîä òî÷å÷íûõ îòîáðàæåíèé, ïîçâîëÿþùèé
ïåðåéòè îò ñèñòåìû ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì ê ñèñòåìå ñ äèñêðåòíûì âðå-
ìåíåì - âàðèàíò ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå, íàçûâàåìûé îòîáðàæåíèåì ïåðâîãî
âîçâðàùåíèÿ.  êà÷åñòâå îòîáðàæåíèÿ èñïîëüçîâàëîñü çíà÷åíèå âåëè÷èíû
Z
â òåêóùåì ëîêàëüíîì ìàêñèìóìå, êàê ôóíêöèÿ îò çíà÷åíèÿ â ïðåäûäóùåì
ìàêñèìóìå (ðèñ.2.36). Ëåâàÿ, âîñõîäÿùàÿ ÷àñòü ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóåò
ïðîöåññó ðàñêðó÷èâàíèÿ, à ïåðåõîä çà ïèê - ïåðåáðîñó ê äðóãîìó ôîêóñó.
Ëîðåíö ïðåäëîæèë ïðîñòåéøóþ ìîäåëü íàáëþäàåìîãî ïðîöåññà - îòîáðà-
æåíèå îòðåçêà [0,1] íà ñåáÿ âèäà (ðèñ.37)
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
>-
<
=
+
2
1
)1(2
2
1
2
1
nn
nn
n
MM
MM
M (2.45)
Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íà÷èíàþùàÿñÿ ñî çíà÷å-
íèÿ
0
M , òî îíà áóäåò ðàçâèâàòüñÿ ïî ñëåäóþùåé öåïî÷êå:
.2.......
86
84
82
88
86
84
82
8
42
44
42
4
22
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
1
MmM
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
n
nn
±=
ï
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
ï
í
ì
+-
+-
+-
-
-
-
-
=
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
+-
-
-
=
î
í
ì
-
=
Çäåñü
n
m - ÷åòíîå ÷èñëî, òàêîå, ÷òî îíî ñäâèãàåò âåëè÷èíó
0
2 M
n
â èí-
òåðâàë [0,1]. Âñå âîçìîæíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî ðàçäåëèòü íà òðè
òèïà:
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, çàêàí÷èâàþùèåñÿ â íóëå. Òàêèõ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòåé ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî è îíè íà÷èíàþòñÿ ñ ýëåìåíòà âèäà
p
uM 2
0
= , ãäå
u - íå÷åòíîå öåëîå ÷èñëî. Òîãäà 21
1
=
-p
M è 0=
p
M .
                                                                                               83



äèò äî òåõ ïîð, ïîêà íà î÷åðåäíîì âèòêå â òî÷êå ìàêñèìóìà òðàåêòîðèÿ íå
âûéäåò çà çíà÷åíèå Z = 38,5 . Êàê òîëüêî òðàåêòîðèÿ ïðåâûñèò ýòî çíà÷åíèå,
îíà óõîäèò â îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ äðóãîãî ôîêóñà è âñå ïîâòîðÿåòñÿ âíîâü.
Ï ðè ýòîì ÷èñëî âèòêîâ, êîòîðîå ñîâåðø èò òðàåêòîðèÿ, çàâèñèò îò âåëè÷è-
íû ïðåâûøåíèÿ òðàåêòîðèè íàä ýòèì êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì ïåðåä ïåðå-
áðîñîì. Ëîðåíö èñïîëüçîâàë ìåòîä òî÷å÷íûõ îòîáðàæåíèé, ïîçâîëÿþ ù èé
ïåðåéòè îò ñèñòåìû ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì ê ñèñòåìå ñ äèñêðåòíûì âðå-
ìåíåì - âàðèàíò ñå÷åíèÿ Ï óàíêàðå, íàçûâàåìûé îòîáðàæåíèåì ïåðâîãî
âîçâðàù åíèÿ.  êà÷åñòâå îòîáðàæåíèÿ èñïîëüçîâàëîñü çíà÷åíèå âåëè÷èíû
Z â òåêóù åì ëîêàëüíîì ìàêñèìóìå, êàê ôóíêöèÿ îò çíà÷åíèÿ â ïðåäûäóù åì
ìàêñèìóìå (ðèñ.2.36). Ëåâàÿ, âîñõîäÿù àÿ ÷àñòü ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóåò
ïðîöåññó ðàñêðó÷èâàíèÿ, à ïåðåõîä çà ïèê - ïåðåáðîñó ê äðóãîìó ôîêóñó.
Ëîðåíö ïðåäëîæèë ïðîñòåéø óþ ìîäåëü íàáëþ äàåìîãî ïðîöåññà - îòîáðà-
æåíèå îòðåçêà [0,1] íà ñåáÿ âèäà (ðèñ.37)

                ì                    1
                ï2M             Mn <
                ï n                  2
      M n+ 1   =í                                                        (2.45)
                ï2(1 - M )           1
                ï               Mn >
                î
                        n
                                     2

     Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íà÷èíàþ ù àÿñÿ ñî çíà÷å-
íèÿ M 0 , òî îíà áóäåòðàçâèâàòüñÿïî ñëåäóþ ù åé öåïî÷êå:
                                                 ì8M 0
                                                 ï2 - 8M
                                                 ï       0

                              ì4M 0              ï4 - 8M 0
                              ï2 - 4M            ï
           ì2M 0              ï                  ï6 - 8M 0
      M1 = í             M2 = í             M3 = í             ....... M n = m n ± 2 n M 0 .
                                      0

           î2 - 2M 0          ï4 - 4M 0          ï8 - 8M 0
                              ï
                              î- 2 + 4M 0        ï- 2 + 8M 0
                                                 ï
                                                 ï- 4 + 8M 0
                                                 ï- 6 + 8M
                                                 î         0



      Çäåñü m n - ÷åòíîå ÷èñëî, òàêîå, ÷òî îíî ñäâèãàåò âåëè÷èíó 2 n M 0 â èí-
òåðâàë [0,1]. Âñå âîçìîæíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî ðàçäåëèòü íà òðè
òèïà:

      Ï îñëåäîâàòåëüíîñòè, çàêàí÷èâàþ ù èåñÿ â íóëå. Òàêèõ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòåé ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî è îíè íà÷èíàþ òñÿ ñ ýëåìåíòà âèäàM 0 = u 2 p , ãäå
u - íå÷åòíîå öåëîå ÷èñëî. Òîãäà M p - 1 = 1 2 è M p = 0 .

Страницы