Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

10
Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè âî âñåõ ôóíêöèÿõ çäåñü è äàëåå îïóñêàåòñÿ àð-
ãóìåíò
t
. Óðàâíåíèå óìíîæàåòñÿ íà
rki
e
r
r
-
è èíòåãðèðóåòñÿ ïî rd
r
. Ó÷èòûâàÿ,
÷òî
)kk(rde
r)kk(i
rr
r
r
rr
-
¢
=
ò
¥
¥-
-
¢
dp2 , à )()()( kfkdkkkf
rrrrr
=
¢
-
¢¢
ò
¥
¥-
d ,
è ïåðåîáîçíà÷èâ qk
r
r
=
¢¢
, ïîëó÷àåì
).k(f)k(vk)k(pkiqd)qk(v)]qk)(q(v[
i
)k(v
t
r
)
r
)
r
r
)
r
rr
r
)
rr
r
r
)
r
r
)
r
+--=--+
-
¥
¥-
ò
21
3
8
nr
p
(4.12)
Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè (4.2) â ïðîñòðàíñòâå Ôóðüå èìååò ïðîñòîé
âèä
0=× )k(vk
r
)
r
r
(4.13)
è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ èñêëþ÷åíèÿ èç óðàâíåíèÿ (4.12) ÷ëåíà ñ
äàâëåíèåì. Óìíîæåíèå (4.12) íà k
r
ñ ó÷åòîì (4.13) ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþ
)k(f
k
ki
qd)qk(v)]qk)(q(v[
k
k
)k(p
r
)
r
rr
r
)
rr
r
r
)
r
r
r
)
223
1
8
---
-
=
ò
¥
¥-
-
p
r . (4.14)
Ïîäñòàâëÿÿ (4.14) â (4.12) è èñïîëüçóÿ ôîðìóëó )()()( baccabcba
r
r
r
r
r
r
r
r
r
-=´´ äëÿ
îáúåäèíåíèÿ íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
)k('f)k(vkqd)]qk)(q(v[
k
)]k)qk(v(k[i
)k(v
t
r
)
r
)
rrr
r
r
)
r
r
r
r
)
r
r
r
)
r
+-=-
´-´
+
ò
¥
¥-
2
23
8
n
p
, (4.15)
ãäå )]kf(k[k)k('f
r
)
r
r
r
)
r
´´=
-2
.
Öåëüþ ïðîâîäèìûõ ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå äëÿ ýíåðãèè,
çàêëþ÷åííîé â äàííûõ ìàñøòàáàõ (âîëíîâûõ ÷èñëàõ), êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ
ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ êâàäðàòà ìîäóëÿ ôóðüå-êîìïîíåíò ïîëÿ ñêîðîñòè ïî
âñåì âîëíîâûì âåêòîðàì ñ çàäàííûì çíà÷åíèåì ìîäóëÿ kk =||
r
:
ò
=
=
|k|k
kd|)k(v|)k(E
rr
r
r
)
r
2
. (4.16)
10



     Äëÿ óïðîù åíèÿ çàïèñè âî âñåõ ôóíêöèÿõ
                                       rr
                                            çäåñü è äàëåå îïóñêàåòñÿ àð-
                                                           r
ãóìåíò t . Óðàâíåíèå óìíîæàåòñÿ íà e è èíòåãðèðóåòñÿ ïî dr . Ó÷èòûâàÿ,
                                    - ik r


÷òî
                               ¥                         r r                    ¥     r     r     r r         r
                                      r r r
                                                  r
                            2p òe i ( k ¢- k ) r dr = d( k ¢- k ) , à           òf (k ¢)d(k ¢-    k )dk ¢= f (k ) ,
                                  -¥                                            -¥


                                r       r
è ïåðåîáîçíà÷èâ k ¢¢= q , ïîëó÷àåì

                                             ¥
                         r r
                         )               i       r r r r )
                                                 )                 r r r r                 r) r            r r
                                                                                                           )         ) r
                                           3 ò
                      ¶t v ( k ) +             [ v ( q )( k - q )] v ( k - q )dq = - ir - 1k p( k ) - nk 2 v ( k ) + f ( k ).
                                        8p - ¥
                                                                                                                            (4.12)

        Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè (4.2) â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå èìååò ïðîñòîé
âèä
                                                          r )r r
                                                          k ×v ( k ) = 0                                                    (4.13)

è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿr èñêëþ ÷åíèÿ èç óðàâíåíèÿ (4.12) ÷ëåíà ñ
äàâëåíèåì. Óìíîæåíèå (4.12) íà k ñ ó÷åòîì (4.13) ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþ
                                    r               ¥
                                                                                         r
                         ) r      - k                 r r r r )
                                                      )                 r r r r ik ) r
                                                   ò[ v ( q )( k - q )] v ( k - q )dq - k 2 f ( k ) .                       (4.14)
                           -1
                       r p( k ) = 3 2
                                 8p k              -¥


                                                                                            r    r r        r rr      r rr
Ï îäñòàâëÿÿ (4.14) â (4.12) è èñïîëüçóÿ ôîðìóëó a ´ (b ´ c ) = b (ac ) - c (ab ) äëÿ
îáúåäèíåíèÿ íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
                                    ¥
                                       r )r r r r
               )r r         i        [ k ´ ( v ( k - q ) ´ k )] )r r r r r                    ) r
                                                                                             2r
                                                                                                        ) r
            ¶t v ( k ) +          ò                            [ v ( q )( k - q )]d q = - nk  v ( k ) + f '( k ),           (4.15)
                           8p 3   -¥
                                                 k2

    )r r            r )   r r
ãäå f ' ( k ) = k [ k ´ ( f ´ k )] .
                 -2


      Ö åëüþ ïðîâîäèìûõ ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå äëÿ ýíåðãèè,
çàêëþ ÷åííîé â äàííûõ ìàñø òàáàõ (âîëíîâûõ ÷èñëàõ), êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ
ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ êâàäðàòà ìîäóëÿ ôóðüå-êîìïîíåíò r
                                                       ïîëÿ ñêîðîñòè ïî
âñåì âîëíîâûì âåêòîðàì ñçàäàííûì çíà÷åíèåì ìîäóëÿ | k |= k :
                                                               r r 2 r
                                                               )
                                               E( k ) =     ò ( k ) | dk .
                                                          r r
                                                             | v                                                            (4.16)
                                                          k =|k |

Страницы