Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

9
4.2. Áàëàíñ ýíåðãèè ïî ìàñøòàáàì. Êàñêàä
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî áàëàíñ ýíåðãèè â îäíîì
îòäåëüíî âçÿòîì ìàñøòàáå, íóæíî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ Íàâüå - Ñòîêñà (4.1)-
(4.2) â ïðîñòðàíñòâå Ôóðüå. Ïðè ýòîì ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ðÿäàìè Ôó-
ðüå âèäà (4.7), èìåÿ â âèäó êóáè÷åñêóþ ãåîìåòðèþ ñ ïåðèîäè÷åñêèìè óñëî-
âèÿìè, ëèáî èíòåãðàëàìè Ôóðüå, îïèðàÿñü íà ðàññìîòðåíèå òóðáóëåíòíîãî
òå÷åíèÿ â îãðàíè÷åííîé ÷àñòè áåñêîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà. ×òîáû íå ñîç-
äàòü âïå÷àòëåíèå, ÷òî ïîëó÷àþùèåñÿ óðàâíåíèÿ ñâÿçàíû ñ èñêóññòâåííî
âûáðàííîé ôîðìîé îáëàñòè, âîñïîëüçóåìñÿ â äàííîì ïàðàãðàôå èíòåãðà-
ëàìè Ôóðüå (âûâîä óðàâíåíèé äëÿ ðÿäîâ îñòàâèì äëÿ äîìàøíèõ óïðàæíå-
íèé).
Èòàê, ïóñòü òå÷åíèå çàíèìàåò îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü, çàòóõàÿ íà áåñ-
êîíå÷íîñòè, è âñå âõîäÿùèå â óðàâíåíèÿ Íàâüå - Ñòîêñà âåëè÷èíû äîïóñ-
êàþò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå
ò
¥
¥-
= kde)t,k(f)t,r(f
rki
rr
)
r
r
r
3
8
1
p
, (4.10)
ãäå
,rde)t,r(f)t,k(f
rki
ò
¥
¥-
-
=
rr
r
)
r
r
(4.11)
),,( zyxr
=
r
- ðàäèóñ-âåêòîð, ),,(
zyx
kkkk =
r
- âîëíîâîé âåêòîð.
Âñå âåëè÷èíû â óðàâíåíèè (4.1) âûðàçèì ÷åðåç ôóðüå-îáðàçû (4.10)
òòò
òòò
¥
¥-
¢
¥
¥-
¢
¥
¥-
¢
-
¥
¥-
¢¢¢
¥
¥-
¢¢
¥
¥-
¢
¢¢
+
¢¢
+
¢¢
Ñ-=
=
¢¢¢¢¢¢
Ñ
¢
¢¢¢¢
+
¢¢
kde)t,k(fkde)t,k(vkde)t,k(p
kde)t,k(vkde)t,k(vkde)t,k(v
rkirkirki
rkirkirki
t
rr
)
rr
)
r
rr
)
r
rr
)
r
r
rr
)
r
rr
)
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Dnr
p
1
3
8
1
è âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé î äèôôåðåíöèðîâàíèè (ñì. ïàðàãðàô 2.4.2 ÷àñòè
1)
.kde)k(fkde)k(vkkde)k(pk
i
kdkde)k(v]k)k(v
?
[
i
kde)k(v
rkirkirki
r)kk(irki
t
òòò
òòò
¥
¥-
¢
¥
¥-
¢
¥
¥-
¢
¥
¥-
¢¢¢
+
¢¢
¥
¥-
¥
¥-
¢
¢¢
+
¢¢¢
-
¢¢¢
-=
=
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
+
¢¢
rr
)
rr
)
r
rr
)
r
rrr
)
r
rr
r
rr
)
r
r
r
r
r
r
r
r
rr
r
r
2
3
8
n
r
p
                                                                                                                                    9




4.2. Áàëàíñ ýíåðãèè ïî ìàñø òàáàì. Êàñêàä

      Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþ ù åãî áàëàíñ ýíåðãèè â îäíîì
îòäåëüíî âçÿòîì ìàñø òàáå, íóæíî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ Í àâüå- Ñòîêñà (4.1)-
(4.2) â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå. Ï ðè ýòîì ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ðÿäàìè Ô ó-
ðüå âèäà (4.7), èìåÿ â âèäó êóáè÷åñêóþ ãåîìåòðèþ ñ ïåðèîäè÷åñêèìè óñëî-
âèÿìè, ëèáî èíòåãðàëàìè Ô óðüå, îïèðàÿñü íà ðàññìîòðåíèå òóðáóëåíòíîãî
òå÷åíèÿ â îãðàíè÷åííîé ÷àñòè áåñêîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà. ×òîáû íå ñîç-
äàòü âïå÷àòëåíèå, ÷òî ïîëó÷àþ ù èåñÿ óðàâíåíèÿ ñâÿçàíû ñ èñêóññòâåííî
âûáðàííîé ôîðìîé îáëàñòè, âîñïîëüçóåìñÿ â äàííîì ïàðàãðàôå èíòåãðà-
ëàìè Ô óðüå (âûâîä óðàâíåíèé äëÿ ðÿäîâ îñòàâèì äëÿ äîìàø íèõ óïðàæíå-
íèé).
      È òàê, ïóñòü òå÷åíèå çàíèìàåò îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü, çàòóõàÿ íà áåñ-
êîíå÷íîñòè, è âñå âõîäÿù èå â óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà âåëè÷èíû äîïóñ-
êàþ ò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå
                                             ¥
                                 r        1     ) r       rr r
                             f ( r ,t ) = 3 òf ( k ,t )e ik r dk ,                                                             (4.10)
                                         8p - ¥
ãäå
                                                       ¥
                                        ) r                 r       - ik r r
                                                                       rr
                                        f ( k ,t ) =   òf
                                                       -¥
                                                          ( r ,t )e       dr ,                                                 (4.11)

r                                r
r = ( x, y, z ) - ðàäèóñ-âåêòîð, k = (k x , k y , k z ) - âîëíîâîé âåêòîð.
       Âñåâåëè÷èíû â óðàâíåíèè (4.1) âûðàçèì ÷åðåçôóðüå-îáðàçû (4.10)

                        ¥                                  ¥                           ¢
                                                                            rr r r ¥ ) r
                         r r
                         )             rr r
                                                      1       )r r                           r             rr r
                     ¶t òv ( k ¢,t )e ik ¢r dk ¢+
                                                     8p 3 -ò                              ò
                                                                           ik ¢¢r                         ik ¢¢¢r
                                                              v ( k ¢
                                                                    ¢,t )e        d k ¢
                                                                                      ¢ Ñ    v ( k ¢
                                                                                                   ¢
                                                                                                   ¢,t )e         dk ¢¢¢=
                        -¥                                  ¥                             -¥

                           r¥ ) r        rr r    ¥
                                                   )r r         rr r                               ¥
                                                                                                    ) r          rr r
                     = - r Ñ òp( k ,t )e dk + nD òv ( k ¢,t )e ik ¢r dk ¢+
                              -1
                                  ¢     ik ¢r
                                              ¢                                                    òf ( k ¢
                                                                                                          ,t )e ik ¢r
                                                                                                                      dk ¢
                                   -¥                               -¥                             -¥



è âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé î äèôôåðåíöèðîâàíèè (ñì. ïàðàãðàô 2.4.2 ÷àñòè
1)
                        ¥                                ¥  ¥
                          )r r r r r                 i            r r r )r r                     r r r r r
                     ¶t òv ( k ¢)e ik ¢r dk ¢+         3 ò ò
                                                               [ v?( k ¢¢)k ¢¢¢] v ( k ¢¢¢)e i ( k ¢¢+ k ¢¢¢) r dk ¢¢dk ¢¢¢=
                        -¥
                                                    8p - ¥ - ¥
                                ¥                       ¥                                      ¥
                             i r ) r ikr¢rr r                2r
                                                               ) r ikr¢rr r                     ) r ikr¢rr r
                             r -ò                       ò ( k ¢)e dk ¢+                        ò ( k ¢)e dk ¢.
                     =-            k ¢
                                     p ( k ¢)e d k ¢- n    k ¢ v                                f
                                 ¥                      -¥                                    -¥

Страницы