Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

11
Ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç (4.15) ïóòåì åãî äîìíîæå-
íèÿ íà )(
?
*
kv
r
r
è èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå Ôóðüå ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû
çàäàííîãî ðàäèóñà k è èìååò ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó
)()()()( kFkDkTkE
t
+-= . (4.17)
Çäåñü )(kT - ÷ëåí, ïîëó÷àþùèéñÿ èç íåëèíåéíîãî ñëàãàåìîãî óðàâíåíèÿ
(4.15) è îïèñûâàþùèé ïåðåíîñ ýíåðãèè â çàäàííûé ìàñøòàá â ðåçóëüòàòå
âçàèìîäåéñòâèÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè ðàçëè÷íîãî ìàñøòàáà, )()(
2
kEkkD n-= è
îïèñûâàåò ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè çà ñ÷åò äåéñòâèÿ ìîëåêóëÿðíîé
âÿçêîñòè, à )(kF õàðàêòåðèçóåò ïðèòîê ýíåðãèè çà ñ÷åò ñèë, ïîääåðæèâàþ-
ùèõ òóðáóëåíòíîå òå÷åíèå (ðàáîòà âíåøíèõ ñèë). Òî÷íûé âèä äëÿ )(kT è
)(kF ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ èç (4.15). Ìû íå âûïèñûâàåì ñîîòâåòñòâóþùèõ âû-
ðàæåíèé, òàê êàê èíòåðåñóþùèå íàñ âûâîäû ìîæíî ñäåëàòü èñõîäÿ èç îá-
ùèõ ñîîáðàæåíèé îá èõ ñòðóêòóðå.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñòàöèîíàðíîãî òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà. Ñòàöèî-
íàðíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî ýíåðãèÿ, ââîäèìàÿ â ïîòîê çà åäèíèöó âðåìåíè, â
òî÷íîñòè ðàâíà ýíåðãèè, ïðåâðàùàþùåéñÿ â òåïëî çà ñ÷åò äåéñòâèÿ âÿçêî-
ñòè, à 0)( = kE
t
äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ âîëíîâîãî ÷èñëà (äëÿ ëþáîãî ìàñøòà-
áà). Ñëåäîâàòåëüíî,
0)()()(
=
+
-
kFkDkT ,
ïðè÷åì ïðèòîê ýíåðãèè â òå÷åíèå è åå äèññèïàöèÿ ïðîèñõîäÿò â ðàçëè÷íûõ
ìàñøòàáàõ. Ñèòóàöèþ ïîÿñíÿåò ðèñ.4.2, ãäå ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåíû
ôóíêöèè )(kD è )(kF . Ïðèòîê ýíåðãèè ïðîèñõîäèò âáëèçè âîëíîâîãî ÷èñëà
L
k , ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàêðîìàñøòàáó òóðáóëåíòíîñòè
L
. Äèññèïàöèÿ ñòà-
íîâèòñÿ ýôôåêòèâíîé òîëüêî íà ìàëûõ ìàñøòàáàõ (áîëüøèõ âîëíîâûõ ÷èñ-
ëàõ), òàê êàê
2
)( kkD » è ôóíêöèÿ )(kD ëîêàëèçîâàíà âáëèçè âîëíîâîãî ÷èñ-
ëà
l
k (
l
- ìèêðîìàñøòàá òóðáóëåíòíîñòè, íàçûâàåìûé ÷àñòî ìàñøòàáîì
Êîëìîãîðîâà). Îòìåòèì, ÷òî ïëîùàäè, çàêëþ÷åííûå ïîä îáåèìè êðèâûìè,
äîëæíû áûòü â òî÷íîñòè ðàâíû äðóã äðóãó. Ìåæäó äâóìÿ êðèâûìè îñòàåòñÿ
çíà÷èòåëüíûé (òåì áîëüøèé, ÷åì áîëüøå ÷èñëî Ðåéíîëüäñà) èíòåðâàë ìàñ-
øòàáîâ
l
kkk
L
<<<< , â êîòîðûõ 0)()(
=
=
kFkD , à ñëåäîâàòåëüíî è 0)(
=
kT .
Ýòîò èíòåðâàë ìàñøòàáîâ íàçûâàþò èíåðöèîííûì èíòåðâàëîì è åãî ïðè-
Ðèñ.4.2
                                                                                    11



     Ñîîòâåòñòâóþ ù åå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç (4.15) ïóòåì åãî äîìíîæå-
        r r
íèÿ íà v?* (k ) è èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû
çàäàííîãî ðàäèóñà k è èìååòñëåäóþ ù óþ ñòðóêòóðó

                            ¶t E ( k ) = T ( k ) - D ( k ) + F ( k ) .          (4.17)

Çäåñü T (k ) - ÷ëåí, ïîëó÷àþ ù èéñÿ èç íåëèíåéíîãî ñëàãàåìîãî óðàâíåíèÿ
(4.15) è îïèñûâàþ ù èé ïåðåíîñ ýíåðãèè â çàäàííûé ìàñø òàá â ðåçóëüòàòå
âçàèìîäåéñòâèÿ ïóëüñàöèé ñêîðîñòè ðàçëè÷íîãî ìàñø òàáà, D(k ) = - nk 2 E (k ) è
îïèñûâàåò ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè çà ñ÷åò äåéñòâèÿ ìîëåêóëÿðíîé
âÿçêîñòè, à F (k ) õàðàêòåðèçóåò ïðèòîê ýíåðãèè çà ñ÷åò ñèë, ïîääåðæèâàþ -
ù èõ òóðáóëåíòíîå òå÷åíèå (ðàáîòà âíåø íèõ ñèë). Òî÷íûé âèä äëÿ T (k ) è
F (k ) ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ èç (4.15). Ì û íå âûïèñûâàåì ñîîòâåòñòâóþ ù èõ âû-
ðàæåíèé, òàê êàê èíòåðåñóþ ù èå íàñ âûâîäû ìîæíî ñäåëàòü èñõîäÿ èç îá-
ù èõ ñîîáðàæåíèé îá èõ ñòðóêòóðå.
       Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñòàöèîíàðíîãî òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà. Ñòàöèî-
íàðíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî ýíåðãèÿ, ââîäèìàÿ â ïîòîê çà åäèíèöó âðåìåíè, â
òî÷íîñòè ðàâíà ýíåðãèè, ïðåâðàù àþ ù åéñÿ â òåïëî çà ñ÷åò äåéñòâèÿ âÿçêî-
ñòè, à ¶t E (k ) = 0 äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ âîëíîâîãî ÷èñëà (äëÿ ëþáîãî ìàñø òà-
áà). Ñëåäîâàòåëüíî,

                                       T (k ) - D (k ) + F (k ) = 0 ,

ïðè÷åì ïðèòîê ýíåðãèè â òå÷åíèå è åå äèññèïàöèÿ ïðîèñõîäÿò â ðàçëè÷íûõ
ìàñø òàáàõ. Ñèòóàöèþ ïîÿñíÿåò ðèñ.4.2, ãäå ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåíû
ôóíêöèè D(k ) è F (k ) . Ï ðèòîê ýíåðãèè ïðîèñõîäèò âáëèçè âîëíîâîãî ÷èñëà
k L , ñîîòâåòñòâóþ ù åãî ìàêðîìàñø òàáó òóðáóëåíòíîñòè L . Äèññèïàöèÿ ñòà-
íîâèòñÿ ýôôåêòèâíîé òîëüêî íà ìàëûõ ìàñø òàáàõ (áîëüø èõ âîëíîâûõ ÷èñ-
ëàõ), òàê êàê D(k ) » k 2 è ôóíêöèÿ D(k ) ëîêàëèçîâàíà âáëèçè âîëíîâîãî ÷èñ-
ëà k l ( l - ìèêðîìàñø òàá òóðáóëåíòíîñòè, íàçûâàåìûé ÷àñòî ìàñø òàáîì
Êîëìîãîðîâà). Îòìåòèì, ÷òî ïëîù àäè, çàêëþ ÷åííûå ïîä îáåèìè êðèâûìè,
äîëæíû áûòü â òî÷íîñòè ðàâíû äðóã äðóãó. Ì åæäó äâóìÿ êðèâûìè îñòàåòñÿ
çíà÷èòåëüíûé (òåì áîëüø èé, ÷åì áîëüø å ÷èñëî Ðåéíîëüäñà) èíòåðâàë ìàñ-
ø òàáîâ k L << k << k l , â êîòîðûõ D(k ) = F (k ) = 0 , à ñëåäîâàòåëüíî è T (k ) = 0 .
Ýòîò èíòåðâàë ìàñø òàáîâ íàçûâàþ ò èíåðöèîííûì èíòåðâàëîì è åãî ïðè-




                                         Ðèñ.4.2

Страницы