Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

12
ñóòñòâèå ÿâëÿåòñÿ ïðèçíàêîì ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè. Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ
âíîñèòñÿ â ïîòîê íà îäíîì êðàþ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà, à âûíîñèòñÿ - íà
äðóãîì, òî îíà î÷åâèäíûì îáðàçîì äîëæíà áûòü ïåðåíåñåíà âäîëü âñåãî
èíòåðâàëà. Óñëîâèå 0)(
=
kT îçíà÷àåò, ÷òî ïðèòîê â äàííûé ìàñøòàá èç
áîëüøèõ ìàñøòàáîâ â òî÷íîñòè ðàâåí îòòîêó ýíåðãèè èç äàííîãî ìàñøòàáà
â ìåíüøèå.
Ïîëåçíî ðàññìîòðåòü âåëè÷èíó
ò
¢¢
=E
k
kdkEk
0
)()( ,
ðàâíóþ ýíåðãèè, çàêëþ÷åííîé âî âñåõ ìàñøòàáàõ, áîëüøèõ äàííîãî
( kk
<
¢
). Ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì óðàâíå-
íèÿ (4.17) îò íóëÿ äî òåêóùåãî çíà÷åíèÿ âîëíîâîãî ÷èñëà è èìååò âèä
òò
¢¢
+
¢¢
-P=E
kk
t
kdkFkdkDkk
00
)()()()( .
Åñëè ðàññìîòðåòü ìàñøòàá, ïðèíàäëåæàùèé èíåðöèîííîìó èíòåðâàëó, è
ñ÷èòàòü òå÷åíèå ñòàöèîíàðíûì, òî
constk
=
F
=
P
)( .
)(k
P
åñòü ïîòîê ýíåðãèè ÷åðåç òåêóùèé ìàñøòàá k . Ýòîò ïîòîê ðàâåí ñóì-
ìàðíîé ýíåðãèè
F
, âíîñèìîé â ïîòîê çà åäèíèöó âðåìåíè íà åäèíèöó ìàñ-
ñû. Ýòîò ïîòîê ðàâåí è ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè, òî åñòü ýíåðãèè, ïðå-
âðàùàþùåéñÿ â òåïëî çà åäèíèöó âðåìåíè íà åäèíèöó ìàññû.
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîäîøëè ê êëþ÷åâîìó ìîìåíòó òåîðèè ìåëêî-
ìàñøòàáíîé òóðáóëåíòíîñòè, ñîñòîÿùåìó â òîì, ÷òî ïðîöåññû âîçáóæäåíèÿ
òå÷åíèÿ, íåëèíåéíûõ âçàèìîäåéñòâèé âèõðåé è âÿçêîé äèññèïàöèè, ñîñóùå-
ñòâóþùèå â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, ñòðîãî ðàçíåñåíû â ïðîñòðàíñòâå
ìàñøòàáîâ. Ïåðâûé øàã â ïîíèìàíèè ïðîáëåìû ñäåëàë Ë.Ðè÷àðäñîí, êî-
òîðûé âûäâèíóë â 1922 ãîäó èäåþ êàñêàäà ýíåðãèè, òî åñòü ïðîöåññà ïåðå-
äà÷è ýíåðãèè ïî öåïî÷êå îò áîëüøèõ âèõðåé - ìåíüøèì. Ñòðîãóþ ôîðìó-
ëèðîâêó ïðîáëåìû, äàâøóþ êîëè÷åñòâåííûå ðåçóëüòàòû, ïðåäëîæèë
À.Í.Êîëìîãîðîâ â ñåðèè ðàáîò 1941 ãîäà.
12



ñóòñòâèå ÿâëÿåòñÿ ïðèçíàêîì ðàçâèòîé òóðáóëåíòíîñòè. Ï îñêîëüêó ýíåðãèÿ
âíîñèòñÿ â ïîòîê íà îäíîì êðàþ èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà, à âûíîñèòñÿ - íà
äðóãîì, òî îíà î÷åâèäíûì îáðàçîì äîëæíà áûòü ïåðåíåñåíà âäîëü âñåãî
èíòåðâàëà. Óñëîâèå T (k ) = 0 îçíà÷àåò, ÷òî ïðèòîê â äàííûé ìàñø òàá èç
áîëüø èõ ìàñø òàáîâ â òî÷íîñòè ðàâåí îòòîêó ýíåðãèè èç äàííîãî ìàñø òàáà
â ìåíüø èå.
     Ï îëåçíî ðàññìîòðåòü âåëè÷èíó
                                                  k
                                      E(k ) = òE (k ¢)dk ¢,
                                                  0

ðàâíóþ ýíåðãèè, çàêëþ ÷åííîé âî âñåõ ìàñø òàáàõ, áîëüø èõ äàííîãî
( k ¢< k ). Ñîîòâåòñòâóþ ù åå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì óðàâíå-
íèÿ (4.17) îò íóëÿ äî òåêóù åãî çíà÷åíèÿ âîëíîâîãî ÷èñëà è èìååò âèä
                                              k              k
                        ¶t E(k ) = P (k ) -   òD(k ¢)dk ¢+
                                              0
                                                             òF (k ¢)dk ¢ .
                                                             0



Åñëè ðàññìîòðåòü ìàñø òàá, ïðèíàäëåæàù èé èíåðöèîííîìó èíòåðâàëó, è
ñ÷èòàòü òå÷åíèå ñòàöèîíàðíûì, òî
                               P (k ) = F = const .

P (k ) åñòü ïîòîê ýíåðãèè ÷åðåç òåêóù èé ìàñø òàá k . Ýòîò ïîòîê ðàâåí ñóì-
ìàðíîé ýíåðãèè F , âíîñèìîé â ïîòîê çà åäèíèöó âðåìåíè íà åäèíèöó ìàñ-
ñû. Ýòîò ïîòîê ðàâåí è ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè, òî åñòü ýíåðãèè, ïðå-
âðàù àþ ù åéñÿ â òåïëî çà åäèíèöó âðåìåíè íà åäèíèöó ìàññû.
      Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîäîø ëè ê êëþ ÷åâîìó ìîìåíòó òåîðèè ìåëêî-
ìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè, ñîñòîÿù åìó â òîì, ÷òî ïðîöåññû âîçáóæäåíèÿ
òå÷åíèÿ, íåëèíåéíûõ âçàèìîäåéñòâèé âèõðåé è âÿçêîé äèññèïàöèè, ñîñóù å-
ñòâóþ ù èå â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, ñòðîãî ðàçíåñåíû â ïðîñòðàíñòâå
ìàñø òàáîâ. Ï åðâûé ø àã â ïîíèìàíèè ïðîáëåìû ñäåëàë Ë.Ðè÷àðäñîí, êî-
òîðûé âûäâèíóë â 1922 ãîäó èäåþ êàñêàäà ýíåðãèè, òî åñòü ïðîöåññà ïåðå-
äà÷è ýíåðãèè ïî öåïî÷êå îò áîëüø èõ âèõðåé - ìåíüø èì. Ñòðîãóþ ôîðìó-
ëèðîâêó ïðîáëåìû, äàâø óþ êîëè÷åñòâåííûå ðåçóëüòàòû, ïðåäëîæèë
À.Í .Êîëìîãîðîâ â ñåðèè ðàáîò 1941 ãîäà.

Страницы