Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 8 стр.

8



íèå òàêèõ óíèâåðñàëüíûõ ñâîéñòâ. Ï ðè íàëè÷èè îñðåäíåííîãî òå÷åíèÿ (ïî-
òîê â òðóáå) âûäåëåííûé êóá äâèæåòñÿñî ñðåäíåé ñêîðîñòüþ ýòîãî ïîòîêà.
      Âûäåëåííûå îáëàñòè íå ñëó÷àéíî èìåþò êóáè÷åñêóþ ôîðìó. Äåëî â
òîì, ÷òî, æåëàÿ èçáåæàòü âëèÿíèÿ ãðàíèö, ìû â òî æå âðåìÿ õîòèì ðàññìàò-
ðèâàòü îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ïîòîêà, ïðè÷åì ñâîéñòâà òå÷åíèÿ â ýòîé îá-
ëàñòè íå äîëæíû çàâèñåòü îò åå òî÷íîãî ïîëîæåíèÿ (äðóãèìè ñëîâàìè, èñ-
ïîëüçóåòñÿãèïîòåçà îá îäíîðîäíîñòè òóðáóëåíòíîñòè íà ìàñø òàáàõ, ìíîãî
ìåíüø èõ ìàñø òàáà åå âîçáóæäåíèÿ L ). Í àèáîëåå ïðîñòîé ïóòü óäîâëåòâî-
ðåíèÿ ýòèõ ïðîòèâîðå÷èâûõ òðåáîâàíèé ñîñòîèò â ðàññìîòðåíèè êóáè÷å-
ñêîé îáëàñòè ñ ðåáðîì D , íà ãðàíÿõ êîòîðîãî âûïîëíÿþ òñÿ ïåðèîäè÷åñêèå
ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Ýòî óñëîâèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ âñÿêîé ôóíêöèè è
ëþ áûõ öåëûõ n, m, q

                        f ( x + nD, y + mD, z + qD ) = f ( x, y, z ) .                                     (4.6)

           Òàêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è î÷åíü óäîáíà äëÿ ïðÿìûõ ÷èñëåííûõ ðåø å-
íèé óðàâíåíèé (4.1)-(4.2). È ìåííî äëÿ êóáà ñ ïåðèîäè÷åñêèìè ãðàíè÷íûìè
óñëîâèÿìè (äëÿ êâàäðàòà â ñëó÷àå äâóìåðíûõ òå÷åíèé) âûïîëíåíû ïðàêòè-
÷åñêè âñå ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ïî èññëåäîâàíèþ ñâîéñòâ îäíîðîäíîé
òóðáóëåíòíîñòè. Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå îäíîðîäíîñòè íåìåäëåííî ïðèâîäèò
êr òîìó, ÷òî óðàâíåíèå (4.4) äîïóñêàåò òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåø åíèå
       r
U (t , r ) = 0 . Êóáè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ è óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè ñîçäàþ ò èäåàëü-
íûå óñëîâèÿ äëÿ ïðèìåíåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ (è ñïåêòðàëüíî-ñåòî÷íûõ) ìåòî-
                                     r
äîâ, òàê êàê ëþáàÿ ôóíêöèÿ f (t , r ) ìîæåòáûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå

                                                             2pi
                               r                 )               ( nx + my + qz )      )           rr
                        f ( t ,r ) =   å
                                       n ,m ,q
                                                 f nmq ( t )e D                   = år f k ( t )e ik r ,   (4.7)
                                                                                    k


    r     2p r        r      r
ãäå k =      (ne x + me y + qe z ) åñòü âîëíîâîé âåêòîð, à êîýôôèöèåíòû Ô óðüå îï-
           D
ðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé
                        )          1
                                            DDD
                                                               r rr r
                        fk ( t ) = 3
                                  D         òòò
                                            0 0 0
                                                        f ( t ,r )e - ik r dr .                            (4.8)


      ñâåòå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ôóðüå-ïðåäñòàâëåíèå óäîáíî òåì, ÷òî
êàæäàÿ ãàðìîíèêà ñîîòâåòñòâóåò äâèæåíèþ îïðåäåëåííîãî ïðîñòðàíñòâåí-
íîãî ìàñø òàáà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ýíåðãèþ âñåõ äâèæåíèé çàäàííî-
ãî ìàñø òàáà l = 2p k , íóæíî ïðîñóììèðîâàòü âñå ãàðìîíèêè, âîëíîâûå âåê-
òîðû êîòîðûõ ðàâíû ïî ìîäóëþ
                                         )r 2
                            E( k ) = å
                                     r
                                       | v k | .                    (4.9)
                                                   |k |= k