Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

124
7.5 Ìîäåëü êîíâåêòèâíîé òóðáóëåíòíîñòè
Ðàññìîòðèì òóðáóëåíòíûå òå÷åíèÿ, îïèñûâàåìûå â ðàìêàõ ïðèáëè-
æåíèÿ Áóññèíåñêà äëÿ òåðìîãðàâèòàöèîííîé êîíâåêöèè íåñæèìàåìîé æèä-
êîñòè. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ çàïèøåì â áåçðàçìåðíîé ôîðìå
t
u u u P Gr u eT
r
r
r
r
r
+ ×Ñ = -Ñ + +
-
( ) ,
/1 2
D (7.36)
s
t
T u T Gr T+ ×Ñ =
- -
r
1 1 2/
,D (7.37)
Ñ
×
=
r
u 0 , (7.38)
ãäå
r
u
- ñêîðîñòü, P - äàâëåíèå, T - òåìïåðàòóðà,
r
e
- åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü
âåðòèêàëüíîé îñè, Gr = g L Tb n
3 2* -
- ÷èñëî Ãðàññãîôà,
s
n
c
=
- ÷èñëî Ïðàíäò-
ëÿ,
n
- êèíåìàòè÷åñêàÿ âÿçêîñòü,
- òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòü.  êà÷åñòâå
åäèíèöû äëèíû âûáðàí ìàêðîìàñøòàá L, åäèíèöû òåìïåðàòóðû - õàðàê-
òåðíàÿ äëÿ ýòîãî ìàñøòàáà ðàçíîñòü òåìïåðàòóðû
T
*
, åäèíèöû ñêîðîñòè -
V g LT=
*
( )
/
b
1 2
è åäèíèöû âðåìåíè - t=L/V. Ïðè âûáðàííîé åäèíèöå ñêîðîñòè
÷èñëî Ãðàññãîôà ïðîñòî ñâÿçàíî ñ ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà Gr V L= =
-2 2 2 2
n Re .
Ìû ïîñòðîèì êàñêàäíóþ ìîäåëü, ïîçâîëÿþùóþ ðàññìîòðåòü ñïåöè-
ôèêó êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ âáëèçè ìàñøòàáà Áîëäæèàíî â äâóìåðíîé òóð-
áóëåíòíîñòè (ñìîòðè ïàðàãðàô 5.5), à òàêæå êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ ïðè
î÷åíü íèçêèõ è î÷åíü âûñîêèõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ïðàíäòëÿ. Ýòè çàäà÷è âû-
áðàíû ïîòîìó, ÷òî ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðîì ñëó÷àÿ, êîãäà ðàññìîòðåíèå íåëî-
êàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé ñòàíîâèòñÿ ïðèíöèïèàëüíûì è ìîäåëü òèïà GOY
ìîæåò ïðèâåñòè ê íåïðàâèëüíûì ðåçóëüòàòàì.
Êàñêàäíàÿ ìîäåëü äëÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè, âêëþ-
÷àþùàÿ íåëîêàëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, áûëà ïîñòðîåíà â ðàáîòå
22
è èìåëà
âèä
d U T U U k U F
t n n m l m l
m l
n n n n
= - +
å
-
, ,
,
Re
1 2
Q , (7.39)
d H U k
t n n m l m l
m l
n n
Q Q Q= -
å
-
, ,
,
( Re)
2 1
s , (7.40)
ãäå F F T T H H
n
n
n m l
N
m n l n n m l
N
m n l n
= = =
- - - -0 0 0
2 2 2, , ,
, , , , , , , ,
à çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ äëÿ öåí-
òðàëüíûõ ÷àñòåé ìàòðèö T
m l0, ,
è H
m l0, ,
ïðèâåäåíû â òàáëèöàõ. Ñòðóêòóðà
ìàòðèö ñëåäóåò èç ðàçáèåíèÿ ïðîñòðàíñòâà âîëíîâûõ âåêòîðîâ íà îêòàâû è
èç òðåáîâàíèÿ ñîõðàíåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè E U
V n
n
=
å
2
, ýíñòðîôèè
W =
å
2
2
n
n
n
U è ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû E
T
n
n
n
=
å
2
2
Q .
22
Ôðèê Ï.Ã. Ìîäåëèðîâàíèå êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè // Æóðíàë ïðè-
êëàäíîé ìåõàíèêè è òåõíè÷åñêîé ôèçèêè. 1986. N.2. Ñ.71-79.
124



7.5 Ì îäåëü êîíâåêòèâíîé òóðáóëåíòíîñòè
     Ðàññìîòðèì òóðáóëåíòíûå òå÷åíèÿ, îïèñûâàåìûå â ðàìêàõ ïðèáëè-
æåíèÿ Áóññèíåñêà äëÿ òåðìîãðàâèòàöèîííîé êîíâåêöèè íåñæèìàåìîé æèä-
êîñòè. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ çàïèø åì â áåçðàçìåðíîé ôîðìå
                                   r r         r                      r r
                                ¶t u + ( u ×Ñ )u = - Ñ P + Gr - 1/ 2 Du + eT ,                          (7.36)
                                       r
                                ¶t T + u ×Ñ T = s- 1Gr - 1/ 2 DT ,                                      (7.37)
                                     r
                                Ñ ×u = 0 ,                                                              (7.38)
      r                                                                        r
ãäå u - ñêîðîñòü, P - äàâëåíèå, T - òåìïåðàòóðà, e - åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü
âåðòèêàëüíîé îñè, Gr = gbL3T * n- 2 - ÷èñëî Ãðàññãîôà,s = n c - ÷èñëî Ï ðàíäò-
ëÿ, n - êèíåìàòè÷åñêàÿ âÿçêîñòü, c - òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòü.  êà÷åñòâå
åäèíèöû äëèíû âûáðàí ìàêðîìàñø òàá L, åäèíèöû òåìïåðàòóðû - õàðàê-
òåðíàÿ äëÿ ýòîãî ìàñø òàáà ðàçíîñòü òåìïåðàòóðû T * , åäèíèöû ñêîðîñòè -
V = ( gbLT * )1/ 2 è åäèíèöû âðåìåíè - t=L/V. Ï ðè âûáðàííîé åäèíèöå ñêîðîñòè
÷èñëî Ãðàññãîôà ïðîñòî ñâÿçàíî ñ ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà Gr = V 2 L2 n- 2 = Re 2 .
       Ì û ïîñòðîèì êàñêàäíóþ ìîäåëü, ïîçâîëÿþ ù óþ ðàññìîòðåòü ñïåöè-
ôèêó êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ âáëèçè ìàñø òàáà Áîëäæèàíî â äâóìåðíîé òóð-
áóëåíòíîñòè (ñìîòðè ïàðàãðàô 5.5), à òàêæå êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ ïðè
î÷åíü íèçêèõ è î÷åíü âûñîêèõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ï ðàíäòëÿ. Ýòè çàäà÷è âû-
áðàíû ïîòîìó, ÷òî ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðîì ñëó÷àÿ, êîãäà ðàññìîòðåíèå íåëî-
êàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé ñòàíîâèòñÿ ïðèíöèïèàëüíûì è ìîäåëü òèïà GOY
ìîæåòïðèâåñòè ê íåïðàâèëüíûì ðåçóëüòàòàì.
       Êàñêàäíàÿ ìîäåëü äëÿ äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè, âêëþ -
÷àþ ù àÿ íåëîêàëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, áûëà ïîñòðîåíà â ðàáîòå 22 è èìåëà
âèä

                               d t U n = å Tn ,m ,l U mU l - Re - 1 k n2U n + Fn Q n ,                  (7.39)
                                         m ,l

                              d t Q n = å H n ,m ,l U m Q l - k n2 ( s Re) - 1 Q n ,                    (7.40)
                                         m ,l



ãäå Fn = F0 2 n , Tn ,m,l = 2 N T0,m- n ,l - n , H n ,m,l = 2 N H 0,m- n ,l - n , à çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ äëÿ öåí-
òðàëüíûõ ÷àñòåé ìàòðèö T0,m,l è H 0,m,l ïðèâåäåíû â òàáëèöàõ. Ñòðóêòóðà
ìàòðèö ñëåäóåò èç ðàçáèåíèÿ ïðîñòðàíñòâà âîëíîâûõ âåêòîðîâ íà îêòàâû è
èç òðåáîâàíèÿ ñîõðàíåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè EV = å n U n , ýíñòðîôèè
                                                                                                  2



      å                                                                                å
                2                                                                                 2
W=        n
            2n U n è ýíåðãèè ïóëüñàöèé òåìïåðàòóðû E T =                                   n
                                                                                             2n Q n .



22
  Ô ðèê Ï .Ã. Ì îäåëèðîâàíèå êàñêàäíûõ ïðîöåññîâ â äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîé êîíâåêöèè // Æ óðíàë ïðè-
êëàäíîé ìåõàíèêè è òåõíè÷åñêîé ôèçèêè. 1986. N.2. Ñ.71-79.

Страницы