Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 16 стр.

     16




4.3.2. Êîððåëÿöèîííûåôóíêöèè
      Ì åòîäîì àíàëèçà ðàçìåðíîñòåé óäàëîñü ïîëó÷èòü îöåíêè (4.21)-
(4.22), êà÷åñòâåííî îïèñûâàþ ù èå êîððåëÿöèè ñêîðîñòè â äâóõ òî÷êàõ îä-
íîðîäíîãî è èçîòðîïíîãî òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ, îòñòîÿù èõ äðóã îò äðóãà
íà ðàññòîÿíèå l . Ï ðîäîëæàÿ ñëåäîâàòü ðàáîòàì Êîëìîãîðîâà 1941 ãîäà,
ïîêàæåì, ÷òî ñóù åñòâóåò è òî÷íûé ðåçóëüòàò, êàñàþ ù èéñÿ ñòðóêòóðíîé
ôóíêöèè òðåòüåãî ïîðÿäêà.
       Ðàññìîòðèì äâóõòî÷å÷íûé êîððåëÿöèîííûé òåíçîð âòîðîãî ðàíãà

                             B ik =< (v 2i - v1i )(v 2 k - v1k ) > ,                (4.27)
    r     r
ãäå v1 è v 2 - ñêîðîñòè â äâóõ òî÷êàõ, îòñòîÿù èõ íà ðàññòîÿíèè l (ñì.
ðèñ.4.3). Ñ÷èòàåì, ïî-ïðåæíåìó, ÷òî òóðáóëåíòíîñòü îäíîðîäíà è èçîòðîï-
íà, à ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ.
       Ââåäåííûé òåíçîð â ñèëó èçîòðîïèè
                                     r
                                          è îäíîðîäíîñòè ïîòîêà ìîæåò
çàâèñåòü òîëüêî îò ìîäóëÿ âåêòîðà l , ñîåäèíÿþ ùråãî äâå òî÷êè. Ââåäåì
                    r
åäèíè÷íûé âåêòîð n , íàïðàâëåííûé âäîëü âåêòîðà l , è çàïèø åì îáù èé âèä
ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà âòîðîãî ðàíãà, çàâèñÿù åãî îò ðàññòîÿíèÿ l ,

                             B ik = A(l )dik + B (l )n i n k .                      (4.28)

      ×òîáû ïðèäàòü ôèçè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèÿì A(l ) è B (l ) , íàïðàâèì
        r
âåêòîð l âäîëü îäíîé èçîñåé êîîðäèíàò (ýòî âîçìîæíî îïÿòü æå áëàãîäàðÿ
èçîòðîïèè). Êîìïîíåíòó ñêîðîñòè âäîëü ýòîé îñè îáîçíà÷èì êàê vl , à ïåð-
ïåíäèêóëÿðíóþ êîìïîíåíòó - êàê v n . Â òàêîì ïðåäñòàâëåíèè êîìïîíåíòà
Bll ðàâíà ñðåäíåìó êâàäðàòó îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè ÷àñòèö â äâóõ òî÷êàõ
â íàïðàâëåíèè äðóã ê äðóãó. Êîìïîíåíòà Bnn ðàâíà ñðåäíåìó êâàäðàòó îò-
íîñèòåëüíîé ñêîðîñòè ÷àñòèö â ïåðïåíäèêóëÿðíîì íàïðàâëåíèè è õàðàêòå-
ðèçóåò, òàêèì îáðàçîì, âðàù àòåëüíîå äâèæåíèå ÷àñòèö îòíîñèòåëüíî äðóã
                                                               r
äðóãà. Ï ðè âûáðàííîì íàïðàâëåíèè îòðåçêà åäèíè÷íûé âåêòîð n = (1,0,0) è
ñîãëàñíî (4.28)

                    Bll (l ) = A(l ) + B (l ), Bnn (l ) = A(l ), Bln (l ) = 0.      (4.29)

È ñïîëüçóÿ (4.29), ïåðåïèø åì (4.28) â âèäå

                             Bik = B nn (l )dik + ( Bll (l ) - Bnn (l ) )ni n k .   (4.30)

Ðàñêðîåì ïðîèçâåäåíèå â îïðåäåëåíèè (4.27)