Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 18 стр.

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ПНИПУ | Пермь

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18
( )
0
2
=-+
¢
nnllll
BB
l
B . (4.32)
Ýòî óðàâíåíèå äàåò ñâÿçü ìåæäó ïðîäîëüíûìè è ïîïåðå÷íûìè êîððåëÿöèÿ-
ìè
ll
B è
nn
B . Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïðè åãî âûâîäå èñïîëüçîâàëîñü òîëüêî
óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè. Óðàâíåíèå (4.32) ïåðåïèøåì â âèäå
l
Bl
B
l
BB
lll
llllnn
2
)(
2
2
=
¢
+= (4.33)
è ïîñìîòðèì, êàê âûãëÿäèò ñâÿçü ìåæäó âåëè÷èíàìè
ll
B è
nn
B ïðè êîíêðåò-
íûõ ñòåïåííûõ çàêîíàõ äëÿ êîððåëÿöèé. Ïóñòü l ñòîëü ìàëû, ÷òî ñîîòâåò-
ñòâóþò äèññèïàòèâíîìó èíòåðâàëó (
l
<
l ).  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî îãðàíè-
÷èòüñÿ ïåðâûì ÷ëåíîì ðÿäà Òåéëîðà è, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî lv
l
~d , çàïèñàòü
2
clB
ll
= (4.34)
ãäå
c
- íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Ïîäñòàâëÿÿ (4.34) â (4.33), ëåãêî ïîëó÷àåì, ÷òî
2
2clB
n
tt
= . Ñëåäîâàòåëüíî, â äèññèïàòèâíîì èíòåðâàëå êîððåëÿöèè ñâÿçàíû
êàê
llnn
BB 2= .
 èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ( Ll
<<
<<
l
) ñîãëàñíî (4.21) èìååì îöåíêó
3/2
1
lcB
ll
= . Ñ ïîìîùüþ (4.33) âíîâü ïîëó÷àåòñÿ ñâÿçü ïðîäîëüíûõ è ïîïå-
ðå÷íûõ êîððåëÿöèé, êîòîðàÿ â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä
llnn
BB
3
4
= .
Âàæíûé âûâîä, êîòîðûé ñëåäóåò èç óðàâíåíèé (4.32), ñîñòîèò â òîì,
÷òî ïðè ëþáîì ñòåïåííîì ïîâåäåíèè êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè
ll
B è
nn
B ñ
òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ñëåäóþò îäíîìó è òîìó æå ñòåïåí-
íîìó çàêîíó.
Òåïåðü ââåäåì êîððåëÿöèîííûé òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà
>---=< )vv)(vv)(vv(B
imlkkiiikm 21212
(4.35)
è âñïîìîãàòåëüíûé òåíçîð
18




                          Bll¢ +
                                    2
                                      (Bll - Bnn )= 0 .                            (4.32)
                                    l

Ýòî óðàâíåíèå äàåò ñâÿçü ìåæäó ïðîäîëüíûìè è ïîïåðå÷íûìè êîððåëÿöèÿ-
ìè Bll è Bnn . Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïðè åãî âûâîäå èñïîëüçîâàëîñü òîëüêî
óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè. Óðàâíåíèå (4.32) ïåðåïèø åì â âèäå

                                          l      ¶l (l 2 Bll )
                          B nn              ¢
                                   = Bll + Bll =                                   (4.33)
                                          2          2l

è ïîñìîòðèì, êàê âûãëÿäèò ñâÿçü ìåæäó âåëè÷èíàìè Bll è Bnn ïðè êîíêðåò-
íûõ ñòåïåííûõ çàêîíàõ äëÿ êîððåëÿöèé. Ï óñòü l ñòîëü ìàëû, ÷òî ñîîòâåò-
ñòâóþò äèññèïàòèâíîìó èíòåðâàëó ( l < l ).  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî îãðàíè-
÷èòüñÿïåðâûì ÷ëåíîì ðÿäà Òåéëîðà è, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî dv l ~ l , çàïèñàòü

                                            B ll = cl 2                            (4.34)

ãäå c - íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Ï îäñòàâëÿÿ (4.34) â (4.33), ëåãêî ïîëó÷àåì, ÷òî
Btt n = 2cl 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, â äèññèïàòèâíîì èíòåðâàëå êîððåëÿöèè ñâÿçàíû
êàê

                                           B nn = 2 Bll .

 èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ( l << l << L ) ñîãëàñíî (4.21) èìååì îöåíêó
B ll = c1l 2 / 3 . Ñ ïîìîù üþ (4.33) âíîâü ïîëó÷àåòñÿ ñâÿçü ïðîäîëüíûõ è ïîïå-
ðå÷íûõ êîððåëÿöèé, êîòîðàÿ â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä

                                                  4
                                          Bnn =     Bll .
                                                  3

     Âàæíûé âûâîä, êîòîðûé ñëåäóåò èç óðàâíåíèé (4.32), ñîñòîèò â òîì,
÷òî ïðè ëþáîì ñòåïåííîì ïîâåäåíèè êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè Bll è Bnn ñ
òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ñëåäóþò îäíîìó è òîìó æå ñòåïåí-
íîìó çàêîíó.
     Òåïåðü ââåäåì êîððåëÿöèîííûé òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà

                          Bikm =< ( v 2i - v1i )( v 2 k - v1k )( v 2 l - vim ) >   (4.35)

è âñïîìîãàòåëüíûé òåíçîð

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