Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 19 стр.

                                                                                                       19



                                    bik ,m =< v1i v1k v 2 m >= - < v 2i v 2 k v1m > .              (4.36)

          Òåíçîð bik ,m ñèììåòðè÷åí ïî ïåðâîé ïàðå èíäåêñîâ, îòíîñÿù èõñÿ ê îä-
íîé òî÷êå, è ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêåròî÷åê ìåñòàìè, òàê êàê ýòà ïåðå-
ñòàíîâêà ýêâèâàëåíòíà èçìåíåíèþ çíàêà l , à èíâåðñèÿ êîîðäèíàò ìåíÿåò
çíàê òåíçîðà òðåòüåãî ðàíãà. Ï ðè l ® ¥ âñå êîìïîíåíòû òåíçîðîâ (4.35) è
(4.36) äîëæíû ñòðåìèòüñÿê íóëþ.
          Ðàñêðûâàÿ                 ïðîèçâåäåíèå            â         (4.35)   è ó÷èòûâàÿ,   ÷òî
< v1i v1k v1m >=< v 2i v 2 k v 2 m >= 0 (ñðåäíåå çíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ íå÷åòíîãî ÷èñëà
ñëó÷àéíûõ ñîìíîæèòåëåé, ñðåäíåå çíà÷åíèå êàæäîãî èç êîòîðûõ ðàâíî íó-
ëþ ), ïîëó÷àåì
                                         Bikm = 2(bik ,m + bkm ,i + bmi ,k ) .             (4.37)

Çàòåì çàïèñûâàåì îáù èé âèä òåíçîðà, ñèììåòðè÷íîãî ïî ïåðâîé ïàðå èí-
                                                     r
äåêñîâ è çàâèñÿù åãî îò êîìïîíåíò åäèíè÷íîãî âåêòîðà n :

                  bik ,m = C (l )dik n m + D (l )(dim n k + dkm ni ) + F (l )ni n k n m .          (4.38)

     Òðåáóåòñÿ âûðàçèòü ôóíêöèè C (l ) , D(l ) è F (l ) ÷åðåç èìåþ ù èå ôèçè÷å-
ñêèé ñìûñë êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè òðåòüåãî ïîðÿäêà. Äëÿ ýòîãî ñíîâà
âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì íåðàçðûâíîñòè, èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî

                                     ¶2 m bik ,m =< v1i v1k ¶2 m v 2 m >= 0 .                      (4.39)

       Ï îäñòàâëÿåì â (4.39) âûðàæåíèå (4.38) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî

                                                                  2ni nk
                                             ¶2 m (ni nk nm ) =          ,
                                                                    l

ïîëó÷àåì äâà óðàâíåíèÿ, ïîçâîëÿþ ù èå âûðàçèòü ôóíêöèè D(l ) è F (l ) ÷åðåç
C (l ) :
                                            lC ¢
                              D=-C-             ,                      F = lC ¢- C .
                                             2
 ðåçóëüòàòå
                                               1
                  bik , m = Cdik n m - (C +      lC ¢)(dim n k + dkm ni ) + (lC ¢- C )ni n k n m
                                               2

è âûðàæåíèå äëÿ êîððåëÿöèîííîãî òåíçîðà òàêæå âêëþ ÷àåò òîëüêî îäíó
íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ C (l ) :

                 Bikm = - 2(lC ¢+ C )(dik n m + dim n k + dkm ni )+ 6(lC ¢- C )n i n k n m .       (4.40)