Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 20 стр.

20



                                           r                                                          r
Âíîâü íàïðàâèì âåêòîð l âäîëü îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò ( n = (1,0,0) ) è âû-
ïèø åì êîìïîíåíòû òåíçîðà (4.40):

                         B lll = - 12C , Blnn = - 2(C + lC ¢) ,          Blln = B nnn = 0 .                        (4.41)

Òàêèì îáðàçîì, îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî äâå êîìïîíåíòû òåíçîðà, êîòîðûå
ìîæíî ñâÿçàòü ñîîòíîø åíèåì
                                                               1
                                                      Blnn =     (lBlll )¢.                                        (4.42)
                                                               6

         Êîìáèíèðóÿ ôîðìóëû (4.38)-(4.41), âûðàçèì âñïîìîãàòåëüíûé òåíçîð
bik , m ÷åðåç êîìïîíåíòû òåíçîðà Bikm (ýòî åñòü 2-å óðàâíåíèå Êàðìàíà - Õî-
âàðòà)

                           1               1
            bik ,m = -       Bllldik n m +    (lBlll¢ + 2 Blll )(dim nk + dkm ni )- 1 (lBlll¢ - Blll )ni nk nm .   (4.43)
                          12               24                                       12

     Åù å ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðè âûâîäå óðàâíåíèé Êàðìàíà - Õîâàðòà
èñïîëüçîâàëîñü òîëüêî óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè. ×òîáû ñâÿçàòü êîððåëÿ-
öèîííûå òåíçîðû âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêà íóæíî èñïîëüçîâàòü óðàâíå-
íèåÍ àâüå- Ñòîêñà.
     Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò òåíçîðà bik =< v1i v 2k > , èñïîëüçóÿ
óðàâíåíèå Í àâüå- Ñòîêñà äëÿ ïðîèçâîäíûõ îò ñêîðîñòè

        ¶t bik =< v2 k ¶t v1i > + < v1i ¶t v2 k >=
              = - ¶1 j < v1 j v1i v2 k > - ¶2 j < v1i v2 k v2 j > - r - 1 (¶1i < p1v2 k > + ¶2 k < p2 v1i > )+
                     (
                 + n ¶12 jj < v1i v2 k > + ¶22 jj < v1i v2 k > .)
      Äâóõòî÷å÷íàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ äàâëåíèÿ è ñêîðîñòè ðàâíà
íóëþ . Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â ñèëó èçîòðîïèè ýòà ôóíêöèÿ äîëæíà èìåòü
âèä
                                                           r      r
                                                      < p1 v 2 >= n f (l ) ,

à åå äèâåðãåíöèÿ äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ ( ¶2 k < p1v 2k >=< p1¶2 k v 2 k >= 0 ). Äåé-
ñòâèòåëüíî, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü ïîñëåäíåìó òðåáîâàíèþ, íóæíî ïîëî-
                                                         - 2 2 1 2ö
æèòü f ( l ) = c / l 2 (òîãäà ¶2 k æç nk ö÷ = cæç
                                            c
                                                             n k + 2 ÷ = 0 ), à òàê êàê ïðè l ® 0 êîððå-
                                           èl     ø     èl         l lø
                                                           3


ëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü êîíå÷íà, òî åäèíñòâåííî âîçìîæíîå çíà-
÷åíèå êîíñòàíòû åñòü c = 0 .