Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 21 стр.

                                                                                                     21



      Ñëåäóþ ù èé ø àã ñîñòîèò â çàìåíå ïðîèçâîäíûõ           r
                                                                ïî êîîðäèíàòàì òî-
÷åê 1 è 2 íà ïðîèçâîäíûå ïî êîìïîíåíòàì âåêòîðà l . Ýòî îïðàâäûâàåòñÿ
òåì, ÷òî âñåêîððåëÿöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè â îäíîðîäíîì ïîòîêåçàâèñÿò
òîëüêî îò ýòîãî âåêòîðà. Ï ðè ýòîì ¶1k = - ¶k , à ¶2 k = ¶k . Ï îëó÷àåì

                 ¶t bik = ¶ j < v1 j v1i v 2 k > - ¶ j < v1i v 2 k v 2 j > + 2nD < v1i v 2 k >
è, îêîí÷àòåëüíî,
                                ¶t bik = ¶ j (bij , k + bkj ,i ) + 2nDbik .                      (4.44)

         Â óðàâíåíèå (4.44) íåîáõîäèìî ïîäñòàâèòü âûðàæåíèÿ äëÿ òåíçîðîâ
bij ,k (4.43) è bik (4.34). Ï ðè âû÷èñëåíèè ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ïîñëåä-
íåãî ïîÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò ñðåäíåãî êâàäðàòà ñêîðîñòè,
êîòîðàÿ åñòü ñêîðîñòü äèññèïàöèè ýíåðãèè
                                                 < v2 > 3
                                            ¶t         = e.
                                                   3    2

Îïóñêàÿ äîñòàòî÷íî äëèííûå âû÷èñëåíèÿ, ïðèâåäåì îêîí÷àòåëüíîå óðàâ-
íåíèå

                                                    ¢ n          ¢
                      -
                          2
                          3
                               1
                               2
                                          1
                                                      (        )
                            e - ¶t B ll = 4 l 4 Blll - 4 l 4 Bll¢ .    (      )                  (4.45)
                                         6l            l

     Ðàññìàòðèâàÿ ñòàöèîíàðíóþ èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, êâàçèñòàöèîíàð-
íóþ òóðáóëåíòíîñòü, êîãäà ÷ëåí ¶t Bll âñå ðàâíî ìíîãî ìåíüø å ñêîðîñòè
äèññèïàöèè, ìîæíî îòáðîñèòü ñëàãàåìîå ñ ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè. È í-
òåãðèðîâàíèå(4.45) ïî l äàåò óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà

                                                          4
                                           Blll = -         el + 6nBll¢.                         (4.46)
                                                          5

      Êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ ïðèíÿòà ðàâíîé íóëþ â ñèëó òðåáîâàíèÿ
îáðàù åíèÿ â íóëü êîððåëÿöèé ïðè l ® ¥ .
      Óðàâíåíèå (4.46), êàê è óðàâíåíèå (4.45), âêëþ ÷àåò äâå íåçàâèñèìûå
êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè è íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ èõ íàõîæäåíèÿ.
Ï îïûòêà íàïèñàòü äîïîëíèòåëüíîå óðàâíåíèå äëÿ êîððåëÿöèîííîãî òåíçî-
ðà òðåòüåãî ïîðÿäêà ïðèâåäåò ê óðàâíåíèþ , ñîäåðæàù åìó òåíçîð ÷åòâåðòî-
ãî ïîðÿäêà è ò.ä. Òàêèì îáðàçîì, ñíîâà âîçíèêàåò ïðîáëåìà çàìûêàíèÿ, ñ
êîòîðîé ìû óæå ñòàëêèâàëèñü ïðè ðàññìîòðåíèè óðàâíåíèé äëÿ îäíîòî-
÷å÷íûõ ìîìåíòîâ òóðáóëåíòíûõ ïîëåé.
      Óðàâíåíèå (4.46) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ l << L , òî åñòü è äëÿ èíåðöèîí-
íîãî, è äëÿ äèññèïàòèâíîãî èíòåðâàëîâ. Â èíåðöèîííîì èíòåðâàëå ïîñëåä-