Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 17 стр.

                                                                                                                     17


                      B ik =< v 2i v 2 k > - < v1i v 2 k > - < v1k v 2i > + < v1i v1k >

è ó÷òåì, ÷òî â ñèëó îäíîðîäíîñòè ïîòîêà îäíîòî÷å÷íûå êîððåëÿöèè íå çà-
âèñÿòîò ïîëîæåíèÿ òî÷êè
                                                                  dik
                                 < v 2i v 2 k >=< v1i v1k >=          < v2 > ,
                                                                   3
à â ñèëó èçîòðîïèè
                                           < v1i v 2 k >=< v1k v 2i >

(ïðè ïåðåñòàíîâêå òî÷åê ìåñòàìè ðåçóëüòàò íå ìåíÿåòñÿ). Òîãäà

                                           2
                                  B ik =     < v 2 > dik - 2bik ,                                                (4.31)
                                           3

ãäå bik =< v1i v 2k > åñòü âñïîìîãàòåëüíûé, ñèììåòðè÷íûé òåíçîð, êîìïîíåíòû
êîòîðîãî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè l ® ¥ (áåñêîíå÷íî óäàëåííûå òî÷êè ñòàòè-
ñòè÷åñêè íåçàâèñèìû).
       Âûðàæåíèå (4.31) ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî êîîðäèíàòàì òî÷êè 2 è âîñ-
ïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì íåðàçðûâíîñòè:

                                  ¶2 k B ik = - 2¶2 k bik = - 2 < v1i ¶2 k v 2 k >= 0 .                          (4.31)

Äèôôåðåíöèðîâàíèå Bik ïî êîîðäèíàòå âòîðîé òî÷êè ýêâèâàëåíòíî äèôôå-
                                                     r
ðåíöèðîâàíèþ ïî ñîîòâåòñòâóþ ù åé ïðîåêöèè âåêòîðà l , ïîñêîëüêó òåíçîð
çàâèñèò òîëüêî îò ýòîãî âåêòîðà. Ñëåäîâàòåëüíî, ¶2 k Bik = ¶k Bik = 0 è, ïîä-
ñòàâëÿÿ â ýòó ôîðìóëó âûðàæåíèå (4.30), ïîëó÷èì

                          ¢ (l )¶k l + (Bll¢(l ) - Bnn
            ¶k Bik = dik Bnn                        ¢ (l ) )ni nk ¶k l + (Bll (l ) - B nn (l ) )¶k (ni n k ) =
                    æ                     ö
                  = çBll¢ + ( Bll - B nn )÷ni = 0
                           2
                    è       l             ø

ãäå ø òðèõîì îáîçíà÷åíî äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî l . Ï ðè âû÷èñëåíèÿõ áûëî
ó÷òåíî, ÷òî
                             ¶k l = ¶k x i = x k / l = n k ,
                                               2


                             ¶k ni = ¶k ( xi / l ) = (dik - ni n k ) / l ,
                             ¶k n k = 2 / l ,
                             ¶k ( n i n k ) = n k ¶ k n i + n i ¶k n k = 2 n i / l .

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå, íàçûâàåìîå ïåðâûì óðàâíåíèåì
Êàðìàíà - Õîâàðòà, ïîëó÷åííîå ýòèìè àâòîðàìè â 1937 ãîäó.