Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 24 стр.

24



ðóø àþ ò êîëìîãîðîâñêèé ñöåíàðèé îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè.
      Í àðóø åíèå ëîêàëüíîé îäíîðîäíîñòè òóðáóëåíòíîñòè ïîëó÷èëî íà-
çâàíèå «ïåðåìåæàåìîñòè». Ñóòü ýòîãî ÿâëåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî â òóðáó-
ëåíòíîñòè äàæå ïðè ñêîëü óãîäíî áîëüø èõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà àêòèâíûå
îáëàñòè ñîñóù åñòâóþ òñïàññèâíûìè, â êîòîðûõ òå÷åíèå êâàçèëàìèíàðíî.
      Ï åðâóþ ïîïûòêó ñêîððåêòèðîâàòü çàêîí (4.22) ïóòåì ó÷åòà ñòàòèñòè-
÷åñêèõ ñâîéñòâ ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè ñäåëàë ñàì Êîëìîãîðîâ â 1962 ãî-
äó (ýòó ìîäåëü áóäåì íàçûâàòü Ê62).
      Äëÿ ó÷åòà ñòðóêòóðû ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè Êîëìîãîðîâ ââåë â
ðàññìîòðåíèå âåëè÷èíó el , êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñðåäíþ þ ñêîðîñòü
äèññèïàöèè, èçìåðåííóþ âíóòðè îáúåìà ñ õàðàêòåðíûì ðàçìåðîì l (íà-
ïðèìåð, ñôåðû èëè êóáà). Ì îäåëü äåðæèòñÿ íà äâóõ äîïîëíèòåëüíûõ ãèïî-
òåçàõ.
      Ï åðâàÿ ãèïîòåçà- ýòî ãèïîòåçà ïîäîáèÿ

                    S q (l ) =< dv l > ~< elq / 3 > l q / 3 ,           (4.50)
                                    q




îáîáù àþ ù àÿ ôîðìóëó (4.22) â òîì ñìûñëå, ÷òî òåïåðü â ïðàâîé ÷àñòè ñòîèò
íå ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà e â ñòåïåíè q / 3 , à ñòàòèñòè÷åñêèé ìîìåíò ïîðÿäêà
q / 3 , õàðàêòåðèçóþ ù èé ñòðóêòóðó ñëó÷àéíîãî ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè íà
ñîîòâåòñòâóþ ù èõ ìàñø òàáàõ l .
         Ãèïîòåçó ïîäîáèÿ (4.50) ìîæíî çàïèñàòü â äðóãîì âèäå. Åñëè ïðåäïî-
ëîæèòü ñóù åñòâîâàíèå ñòåïåííûõ çàêîíîâ âèäà (4.49) è äëÿ ìîìåíòîâ ïîëÿ
äèññèïàöèè, òî åñòü
                                           t
                                 < el > ~ l ,                         (4.51)
                                     q                 q




òî ãèïîòåçà (4.50) âûðàæàåòñÿ â âèäå ïðîñòîãî ñîîòíîø åíèÿ ìåæäó ïîêàçà-
òåëÿìè ñòåïåíè â (4.49) è (4.51):
                                               q
                                        Vq =     + tq/3.                (4.52)
                                               3

Î÷åâèäíî, ÷òî (4.52) âîçâðàù àåò íàñ ê ìîäåëè Ê41, åñëè t q = 0 äëÿ ëþ áûõ q .
      Âòîðàÿ ãèïîòåçà Ê62 êàñàåòñÿ âèäà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíî-
ñòè äëÿ âåëè÷èíû el . Îáû÷íî â êà÷åñòâå ïðîñòåéø åé âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè
ðàññìàòðèâàåòñÿ íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, îäíàêî, â íàø åì ñëó÷àå îíî íå
ãîäèòñÿ, òàê êàê äèññèïàöèÿ - âåëè÷èíà ñóãóáî ïîëîæèòåëüíàÿ, à õâîñò
íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óõîäèò â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé.
Êîëìîãîðîâ ïðåäëîæèë èçáåæàòü ýòó òðóäíîñòü ïóòåì ðàññìîòðåíèÿ ëîã-
íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåí ëîãà-
ðèôì äèññèïàöèè ýíåðãèè)