Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

25
2
2
2
)(ln
)(
l
a
l
ceP
s
e
e
-
-
= . (4.53)
Çäåñü
P
- ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè,
e
ln
=
a ,
2
l
s - äèñïåðñèÿ, ðàâ-
íàÿ íà ìàñøòàáå l âåëè÷èíå
)/ln(
2
lLA
l
ms += . (4.54)
Ëîãíîðìàëüíàÿ ìîäåëü ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì âûðàæåíèÿì äëÿ ïî-
êàçàòåëåé ñòåïåíè:
( )
qq
q
-= 1
2
m
t ,
( )
qq
q
q
-+= 3
18
3
m
V . (4.55)
Âåëè÷èíà
m
, íàçûâàåìàÿ êîýôôèöèåíòîì ïåðåìåæàåìîñòè, èìååò
ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë - ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà ýòî ïîêàçàòåëü ñòåïåíè
äëÿ ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè ( mt -=
2
), ò.å.
m
e
-
>< l
l
~
2
.
Ñâÿçàííûé ñî âòîðûì ìîìåíòîì ïîëÿ äèññèïàöèè øåñòîé ìîìåíò ïî-
ëÿ ñêîðîñòè òàêæå ïîçâîëÿåò ïðîñòî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò ïåðåìåæàå-
ìîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (4.55),
mV -= 2
6
,
òî åñòü êîýôôèöèåíò ïåðåìåæàåìîñòè ðàâåí îòêëîíåíèþ ñòåïåííîãî ïîêà-
çàòåëÿ
6
V îò çíà÷åíèÿ, ñëåäóþùåãî èç ìîäåëè îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè
Ê41.
Ãèïîòåçà î ëîãíîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè áûëà îïðîâåðãíóòà è ýêñ-
ïåðèìåíòàëüíî, è òåîðåòè÷åñêè. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èçìåðåíèÿ ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîêàçûâàþò, ÷òî â êîîðäèíàòàõ ( Pln,ln
e
) ôóíê-
öèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò íåñèììåòðè÷íûé âèä, â òî âðåìÿ êàê ëîãíîðìàëü-
íîå ðàñïðåäåëåíèå â òàêèõ êîîðäèíàòàõ äîëæíî ïðèâîäèòü ê ïàðàáîëå.
Îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ ôóíêöèè )(q
V
áûëî äîêàçàíî äâà óòâåðæäåíèÿ
1
. Âî-ïåðâûõ, )(q
V
- ôóíêöèÿ âûïóêëàÿ, ò.å. 0
<
¢
¢
V
è, âî âòîðûõ,
qq
VV ³
+1
äëÿ
ëþáûõ
q
. Ôîðìóëà (4.55) óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîìó òðåáîâàíèþ (à òàêæå
îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå óñëîâèé 0
0
=V è 1
3
=V ), íî íå óäîâëåòâîðÿåò âòî-
ðîìó - ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè
q
ôóíêöèÿ (ýòî ïàðàáîëà) èìååò ìàêñèìóì,
ïîñëå êîòîðîãî çíà÷åíèÿ )(q
V
íà÷èíàþò óáûâàòü.
1
U.Frisch. Turbulence. Cambridge University Press. 1995. 296 p.
                                                                                              25


                                                                    (ln e- a ) 2
                                                                -
                                                                       2sl 2
                                                 P (el ) = ce                      .      (4.53)

Çäåñü P - ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè, a = ln e , sl 2 - äèñïåðñèÿ, ðàâ-
íàÿ íà ìàñø òàáå l âåëè÷èíå

                                                 s l = A + m ln( L / l ) .                (4.54)
                                                      2




     Ëîãíîðìàëüíàÿ ìîäåëü ïðèâîäèò ê ñëåäóþ ù èì âûðàæåíèÿì äëÿ ïî-
êàçàòåëåé ñòåïåíè:
                                      m                               q m
                               tq =     q (1 - q ),        Vq =        +   q (3 - q ) .   (4.55)
                                      2                               3 18

     Âåëè÷èíà m , íàçûâàåìàÿ êîýôôèöèåíòîì ïåðåìåæàåìîñòè, èìååò
ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë - ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà ýòî ïîêàçàòåëü ñòåïåíè
äëÿ ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà ïîëÿ äèññèïàöèè ýíåðãèè ( t 2 = - m ), ò.å.

                                                      < el > ~ l - m .
                                                          2




     Ñâÿçàííûé ñî âòîðûì ìîìåíòîì ïîëÿ äèññèïàöèè ø åñòîé ìîìåíò ïî-
ëÿ ñêîðîñòè òàêæå ïîçâîëÿåò ïðîñòî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò ïåðåìåæàå-
ìîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (4.55),
                                V6 = 2 - m ,

òî åñòü êîýôôèöèåíò ïåðåìåæàåìîñòè ðàâåí îòêëîíåíèþ ñòåïåííîãî ïîêà-
çàòåëÿ V6 îò çíà÷åíèÿ, ñëåäóþ ù åãî èç ìîäåëè îäíîðîäíîé òóðáóëåíòíîñòè
Ê41.
       Ãèïîòåçà î ëîãíîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè áûëà îïðîâåðãíóòà è ýêñ-
ïåðèìåíòàëüíî, è òåîðåòè÷åñêè. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èçìåðåíèÿ ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîêàçûâàþò, ÷òî â êîîðäèíàòàõ ( lne, ln P ) ôóíê-
öèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò íåñèììåòðè÷íûé âèä, â òî âðåìÿ êàê ëîãíîðìàëü-
íîå ðàñïðåäåëåíèå â òàêèõ êîîðäèíàòàõ äîëæíî ïðèâîäèòü ê ïàðàáîëå.
       Îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ ôóíêöèè V(q ) áûëî äîêàçàíî äâà óòâåðæäåíèÿ
1
  . Âî-ïåðâûõ, V(q ) - ôóíêöèÿ âûïóêëàÿ, ò.å. V¢¢< 0 è, âî âòîðûõ, Vq + 1 ³ Vq äëÿ
ëþ áûõ q . Ô îðìóëà (4.55) óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîìó òðåáîâàíèþ (à òàêæå
îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå óñëîâèé V0 = 0 è V3 = 1 ), íî íå óäîâëåòâîðÿåò âòî-
ðîìó - ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè q ôóíêöèÿ (ýòî ïàðàáîëà) èìååò ìàêñèìóì,
ïîñëå êîòîðîãî çíà÷åíèÿ V(q ) íà÷èíàþ ò óáûâàòü.


1
    U.Frisch. Turbulence. Cambridge University Press. 1995. 296 p.

Страницы