Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

26
 îòëè÷èå îò âòîðîé ãèïîòåçû, ãèïîòåçà ïîäîáèÿ (4.50) èñïîëüçóåòñÿ
äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè, õîòÿ åå èíòåðïðåòàöèÿ ïðåòåðïåëà ñóùåñòâåííûå
èçìåíåíèÿ. Äåëî â òîì, ÷òî â ôîðìóëèðîâêå (4.50) ýòà ãèïîòåçà íåñåò â ñåáå
äâà ïðîòèâîðå÷èÿ. Âî-ïåðâûõ, ëåâàÿ ÷àñòü âûðàæåíèÿ ñîäåðæèò âåëè÷èíó,
îòíîñÿùóþñÿ ê èíåðöèîííîìó èíòåðâàëó, à ïðàâàÿ - âåëè÷èíó, ýôôåêòèâ-
íóþ òîëüêî â äèññèïàòèâíîì. Âî-âòîðûõ, äèññèïàöèÿ ýíåðãèè åñòü âåëè÷è-
íà ñóãóáî ïîëîæèòåëüíàÿ, à ïóëüñàöèè ñêîðîñòè - íåò.  òàêîì ñëó÷àå òðóä-
íî ðàññ÷èòûâàòü, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ýòèõ âåëè÷èí îäèíàêîâû, à
èìåííî â ýòîì è ñîñòîèò ñóòü ãèïîòåçû ïîäîáèÿ.
Èçáåæàòü îòìå÷åííûõ ïðîòèâîðå÷èé ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Âûäåëèì â ïðîñòðàíñòâå, çàíÿòîì òóðáóëåíòíûì òå÷åíèåì, ïðîèçâîëüíûé
îáúåì ñ õàðàêòåðíûì ðàçìåðîì l è ðàññìîòðèì èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè ýíåð-
ãèè ïóëüñàöèé ñêîðîñòè â ýòîì îáúåìå:
.
2
1
2
1
11
)(
1
2
1
2
2
2
lll
ll
S
ll
V
VVVVV
tlt
q
qsdv
Pv
V
qrdv
Pv
div
V
rdfv
V
rdvv
V
rPdv
V
rdvvv
V
rd
v
V
e
+-=
=+-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=
=+-
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=
=+D+Ñ-Ñ-==
ò
ò
òòòòò
eh
e
r
e
r
n
r
rr
rr
r
r
rrrrrrrrrrr
Çäåñü
l
e åñòü äèññèïàöèÿ ýíåðãèè çà åäèíèöó âðåìåíè íà åäèíèöó ìàñ-
ñû,
l
q - ïðèòîê ýíåðãèè çà ñ÷åò ðàáîòû âíåøíèõ ñèë (òàêæå çà åäèíèöó âðå-
ìåíè è íà åäèíèöó ìàññû). Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè, îáîçíà÷åííîå
êàê
l
h , îïèñûâàåò ïðèòîê ýíåðãèè â âûäåëåííûé îáúåì ÷åðåç åãî ïîâåðõ-
íîñòü.
Èç ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè ìîæíî âûäåëèòü åå ñðåäíåå çíà÷åíèå
ll
eee
¢
+= . Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòàöèîíàðíî âîçáóæäàåìàÿ òóðáóëåíò-
íîñòü, òî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü äèññèïàöèè äîëæíà áûòü ðàâíà ïëîòíîñòè ïðè-
òîêà ýíåðãèè çà ñ÷åò âíåøíèõ ñèë, ò.å. e=
l
q . Òîãäà
lllt
e eh
¢
-= , (4.56)
òî åñòü èçìåíåíèÿ ýíåðãèè â âûäåëåííîì îáúåìå îïðåäåëÿþòñÿ ïîòîêîì
ýíåðãèè ÷åðåç åãî ïîâåðõíîñòü è âàðèàöèÿìè äèññèïàöèè. Èçáåæàòü îòìå-
÷åííûõ âûøå ïðîòèâîðå÷èé ìîæíî ïóòåì ðàññìîòðåíèÿ íå ñêîðîñòè äèññè-
ïàöèè ýíåðãèè â îáúåìå çàäàííîãî ìàñøòàáà, à ïîòîêîâ ýíåðãèè ÷åðåç ïî-
âåðõíîñòü ýòîãî îáúåìà. Ïîñëåäíèé îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâèåì íåëèíåéíîãî
26



       îòëè÷èå îò âòîðîé ãèïîòåçû, ãèïîòåçà ïîäîáèÿ (4.50) èñïîëüçóåòñÿ
äî íàñòîÿù åãî âðåìåíè, õîòÿ åå èíòåðïðåòàöèÿ ïðåòåðïåëà ñóù åñòâåííûå
èçìåíåíèÿ. Äåëî â òîì, ÷òî â ôîðìóëèðîâêå (4.50) ýòà ãèïîòåçà íåñåò â ñåáå
äâà ïðîòèâîðå÷èÿ. Âî-ïåðâûõ, ëåâàÿ ÷àñòü âûðàæåíèÿ ñîäåðæèò âåëè÷èíó,
îòíîñÿù óþ ñÿ ê èíåðöèîííîìó èíòåðâàëó, à ïðàâàÿ - âåëè÷èíó, ýôôåêòèâ-
íóþ òîëüêî â äèññèïàòèâíîì. Âî-âòîðûõ, äèññèïàöèÿ ýíåðãèè åñòü âåëè÷è-
íà ñóãóáî ïîëîæèòåëüíàÿ, à ïóëüñàöèè ñêîðîñòè - íåò.  òàêîì ñëó÷àå òðóä-
íî ðàññ÷èòûâàòü, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ýòèõ âåëè÷èí îäèíàêîâû, à
èìåííî â ýòîì è ñîñòîèò ñóòü ãèïîòåçû ïîäîáèÿ.
      È çáåæàòü îòìå÷åííûõ ïðîòèâîðå÷èé ìîæíî ñëåäóþ ù èì îáðàçîì.
Âûäåëèì â ïðîñòðàíñòâå, çàíÿòîì òóðáóëåíòíûì òå÷åíèåì, ïðîèçâîëüíûé
îáúåì ñ õàðàêòåðíûì ðàçìåðîì l è ðàññìîòðèì èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè ýíåð-
ãèè ïóëüñàöèé ñêîðîñòè â ýòîì îáúåìå:

                  1 v2 r     1 r rr r 1 r            r n r r r 1 rr r
     ¶t el = ¶t    ò
                  VV 2
                       dr = - òv(Ñ v)vdr -
                             VV               ò
                                           Vr V
                                                vÑ Pdr + òvDvdr + òvfdr =
                                                        VV       VV
                            1      éæv2 P örù r
                            V Vò ëç
                        =       divêç + ÷ ÷v údr - el + ql =
                                    è 2 rø û
                          1 æv2 P ör r
                          Vò
                        =      ç
                               ç2 + r÷    ÷vds - el + ql =
                              Sè          ø
                        = h l - el + ql .

        Çäåñü el åñòü äèññèïàöèÿ ýíåðãèè çà åäèíèöó âðåìåíè íà åäèíèöó ìàñ-
ñû, q l - ïðèòîê ýíåðãèè çà ñ÷åò ðàáîòû âíåø íèõ ñèë (òàêæå çà åäèíèöó âðå-
ìåíè è íà åäèíèöó ìàññû). Ï åðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè, îáîçíà÷åííîå
êàê h l , îïèñûâàåò ïðèòîê ýíåðãèè â âûäåëåííûé îáúåì ÷åðåç åãî ïîâåðõ-
íîñòü.
        È çñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè ìîæíî âûäåëèòü åå ñðåäíåå çíà÷åíèå
el = e + el¢. Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòàöèîíàðíî âîçáóæäàåìàÿ òóðáóëåíò-
íîñòü, òî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü äèññèïàöèè äîëæíà áûòü ðàâíà ïëîòíîñòè ïðè-
òîêà ýíåðãèè çà ñ÷åò âíåø íèõ ñèë, ò.å. ql = e . Òîãäà

                                         ¶t el = h l - el¢,                 (4.56)

òî åñòü èçìåíåíèÿ ýíåðãèè â âûäåëåííîì îáúåìå îïðåäåëÿþòñÿ ïîòîêîì
ýíåðãèè ÷åðåç åãî ïîâåðõíîñòü è âàðèàöèÿìè äèññèïàöèè. È çáåæàòü îòìå-
÷åííûõ âûøå ïðîòèâîðå÷èé ìîæíî ïóòåì ðàññìîòðåíèÿ íå ñêîðîñòè äèññè-
ïàöèè ýíåðãèè â îáúåìå çàäàííîãî ìàñø òàáà, à ïîòîêîâ ýíåðãèè ÷åðåç ïî-
âåðõíîñòü ýòîãî îáúåìà. Ï îñëåäíèé îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâèåì íåëèíåéíîãî

Страницы