Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 28 стр.

28



1964ã.2 Ï ðîñòåéø àÿ äèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü èíåðöèîííîãî èíòåðâàëà, ïðèâî-
äÿù àÿ ê ôðàêòàëàì, ïðåäëîæåíà â ðàáîòå 3. Ýòà ìîäåëü, íàçâàííàÿ àâòîðà-
ìè b -ìîäåëüþ , îïèñàíà â ñëåäóþ ù åì ïàðàãðàôå.
      Ô ðàêòàëû ïðèíåñëè â òåîðèþ òóðáóëåíòíîñòè åù å îäíó âàæíóþ
èäåþ - èäåþ î íåîäíîçíà÷íîñòè ìàñø òàáíûõ ïîêàçàòåëåé, èíà÷å ãîâîðÿ,
èäåþ î ñîñóù åñòâîâàíèè â ðàçâèòûõ òóðáóëåíòíûõ ïîëÿõ ïîäìíîæåñòâ ñ
ðàçëè÷íûìè çàêîíàìè ìàñø òàáíîãî ïîäîáèÿ (ñêåéëèíãà).
      Í àïîìíèì, ÷òî óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà ïîä÷èíÿþ òñÿ ø åñòè ïðèí-
öèïàì èíâàðèàíòíîñòè, òî åñòü, äîïóñêàþ ò ø åñòü âèäîâ ïðåîáðàçîâàíèé,
                                                          rr
ïðè êîòîðûõ ëþ áîå ðåø åíèå óðàâíåíèé v (r , t ) îñòàåòñÿ ðåø åíèåì ýòèõ
óðàâíåíèé:
      1) ïðîñòðàíñòâåííûé ñäâèã,
      2) ñäâèã ïî âðåìåíè,
      3) ïðåîáðàçîâàíèå Ãàëèëåÿ,
      4) ÷åòíîñòü,
      5) âðàù åíèå,
      6) ìàñø òàáíàÿ èíâàðèàíòíîñòü (ñêåéëèíã).
      Ï îñëåäíåå ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà èíâàðè-
àíòíû ê ïðåîáðàçîâàíèþ
                                r r                r        r
                            t , r , v a l1+ a t , lr , l- a v .

     Äåéñòâèòåëüíî, òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ â óðàâ-
íåíèè äâèæåíèÿ ñëåäóþ ù èõ ìíîæèòåëåé
                                         r               rr r                             r
                             l- 2a - 1¶t v + l- 2a - 1 [(v Ñ )v + r - 1Ñ P ] = nl- a - 2 Dv .

     Ï ðè êîíå÷íîé âÿçêîñòè èíâàðèàíòíîñòü (ïîäîáèå) îáåñïå÷èâàåòñÿ
åäèíñòâåííî âîçìîæíûì ðåø åíèåì a = 1 , ýêâèâàëåíòíûì òðåáîâàíèþ ïî-
ñòîÿíñòâà ÷èñëà Ðåéíîëüäñà (âî ñêîëüêî ðàç óâåëè÷èâàåòñÿ ìàñø òàá, âî
ñòîëüêî æå ðàç äîëæíà áûòü óìåíüø åíà ñêîðîñòü). Îäíàêî, ïðè n ® 0 ìàñ-
ø òàáíîå ïîäîáèå îáåñïå÷èâàåòñÿ ëþ áûì a . Ê41 äàåò ðåø åíèå a = 1 / 3 , ìî-
íîôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü òèïà b -ìîäåëè ïðèâîäèò ê äðóãîìó, íî òàêæå åäèí-
ñòâåííîìó, ðåø åíèþ. Áèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü (ïàðàãðàô 4.5.2) ïðåäïîëàãàåò
ñîñóù åñòâîâàíèÿ â ïîòîêå äâóõ ïîäìíîæåñòâ ñ ðàçëè÷íûìè çàêîíàìè ïî-
äîáèÿ (ðàçëè÷íûìè a ), à ìóëüòèôðàêòàëüíàÿ ìîäåëü (ïàðàãðàô 4.5.3) ðàñ-
ñìàòðèâàåò íåïðåðûâíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàêèõ ïîäìíîæåñòâ, ïðèâîäÿ
ê ïîíÿòèþ ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ñïåêòðà.



2
  Í îâèêîâ Å.À., Ñòüþ àðò Ð.Â. Ï åðåìåæàåìîñòü òóðáóëåíòíîñòè è ñïåêòð äèññèïàöèè ýíåðãèè // È çâ.ÀÍ
ÑÑÑÐ: Ñåðèÿ ãåîôèçè÷åñêàÿ. 1964. N.3. C.408-413.
3
  Frisch U., Sulem P.-L., Nelkin M. A simple dynamic model of intermittent fully developed turbulence // J.Fluid
Mechanics. 1978. Vol.87. P.719-736.