Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

29
4.5.1.
b
-ìîäåëü
Îáðàòèìñÿ ê òóðáóëåíòíîñòè â êóáè÷åñêîé îáëàñòè è ðàññìîòðèì ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü ìàñøòàáîâ
n
n
ll
-
= 2
0
.
Íà êàæäîì ìàñøòàáå
n
èñõîäíàÿ îáëàñòü ðàçáèâàåòñÿ íà êóáèêè ñ ðåáðîì
n
l , îáùåå ÷èñëî êîòîðûõ åñòü
n
n
llN
33
0
2)/( == .
Ñëåäóÿ ñõåìå ðèñ.4.6,á, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè ïåðåõîäå ê êàæäîìó
ñëåäóþùåìó ìàñøòàáó àêòèâíîé îñòàåòñÿ òîëüêî çàäàííàÿ ÷àñòü êóáèêîâ
b
, ïðè÷åì ýòà ÷àñòü åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ïàðàìåòðîì
ìîäåëè. Äâóìåðíàÿ êàðòèíêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ òàêîìó ïîñòðîåíèþ ñ
4/3
=
b
, ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ.4.7.
Íà ìàñøòàáå
n
÷èñëî àêòèâíûõ
âèõðåé åñòü
n
NM b= , ãäå
)3(
3
0
2
-
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
==
Dn
D
n
n
n
l
l
bb , (4.57)
à
D
åñòü ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü
àêòèâíîé îáëàñòè. Âåëè÷èíà Dd
-
=
3 ,
ðàâíàÿ ðàçíîñòè ðàçìåðíîñòè ïðî-
ñòðàíñòâà è ðàçìåðíîñòè ôðàêòàëüíî-
ãî ìíîæåñòâà, íàçûâàåòñÿ êîðàçìåð-
íîñòüþ è ïðîñòî ñâÿçàíà ñ ïàðàìåò-
ðîì
b
:
bln
2ln
=d . (4.58)
Ðàññìîòðèì òåïåðü êàñêàä ýíåðãèè â òàêîé ìîäåëè. Õàðàêòåðíîå çíà-
÷åíèå ïóëüñàöèè ñêîðîñòè íà ìàñøòàáå
n
l îáîçíà÷èì êàê
n
vd . Òîãäà õàðàê-
òåðíîå âðåìÿ (âðåìÿ îáîðîòà âèõðÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàñøòàáà) åñòü
nnn
vlt d/~ . Ïðè ñïëîøíîì çàïîëíåíèè ïðîñòðàíñòâà (ñëó÷àé îäíîðîäíîé
òóðáóëåíòíîñòè) ïëîòíîñòü ýíåðãèè ïóëüñàöèé ìàñøòàáà
n
2
~
nn
vE d , (4.59)
à ñêîðîñòü ïåðåíîñà ýíåðãèè ÷åðåç äàííûé ìàñøòàá åñòü
Ðèñ.4.7
                                                                                 29



4.5.1. b -ìîäåëü

     Îáðàòèìñÿ ê òóðáóëåíòíîñòè â êóáè÷åñêîé îáëàñòè è ðàññìîòðèì ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü ìàñø òàáîâ
                              ln = l0 2 - n .

Í à êàæäîì ìàñø òàáå n èñõîäíàÿ îáëàñòü ðàçáèâàåòñÿ íà êóáèêè ñ ðåáðîì
l n , îáù åå÷èñëî êîòîðûõ åñòü N = (l 0 / l n ) 3 = 2 3n .
        Ñëåäóÿ ñõåìå ðèñ.4.6,á, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè ïåðåõîäå ê êàæäîìó
ñëåäóþ ù åìó ìàñø òàáó àêòèâíîé îñòàåòñÿ òîëüêî çàäàííàÿ ÷àñòü êóáèêîâ
b , ïðè÷åì ýòà ÷àñòü åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ, ÿâëÿþ ù àÿñÿ ïàðàìåòðîì
ìîäåëè. Äâóìåðíàÿ êàðòèíêà, ñîîòâåòñòâóþ ù àÿ òàêîìó ïîñòðîåíèþ ñ
b = 3 / 4 , ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ.4.7.
        Í à ìàñø òàáå n ÷èñëî àêòèâíûõ
âèõðåé åñòü M = Nb n , ãäå

                         D- 3
                 æl 0   ö
        bn = b = ç
              n
                 çl     ÷
                        ÷       = 2 n ( D - 3) ,      (4.57)
                 èn     ø

à D åñòü ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü
àêòèâíîé îáëàñòè. Âåëè÷èíà d = 3 - D ,
ðàâíàÿ ðàçíîñòè ðàçìåðíîñòè ïðî-
ñòðàíñòâà è ðàçìåðíîñòè ôðàêòàëüíî-
ãî ìíîæåñòâà, íàçûâàåòñÿ êîðàçìåð-
íîñòüþ è ïðîñòî ñâÿçàíà ñ ïàðàìåò-
ðîì b :

                        ln 2                                       Ðèñ.4.7
                   d=        .                        (4.58)
                        ln b

          Ðàññìîòðèì òåïåðü êàñêàä ýíåðãèè â òàêîé ìîäåëè. Õàðàêòåðíîå çíà-
÷åíèå ïóëüñàöèè ñêîðîñòè íà ìàñø òàáå l n îáîçíà÷èì êàê dv n . Òîãäà õàðàê-
òåðíîå âðåìÿ (âðåìÿ îáîðîòà âèõðÿ ñîîòâåòñòâóþ ù åãî ìàñø òàáà) åñòü
t n ~ l n / dv n . Ï ðè ñïëîø íîì çàïîëíåíèè ïðîñòðàíñòâà (ñëó÷àé îäíîðîäíîé
òóðáóëåíòíîñòè) ïëîòíîñòüýíåðãèè ïóëüñàöèé ìàñø òàáà n

                                                   E n ~ dv n2 ,             (4.59)

à ñêîðîñòü ïåðåíîñà ýíåðãèè ÷åðåç äàííûé ìàñø òàá åñòü

Страницы