Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

74
1
||
+
<<
NN
kkk
r
,
N
N
k 2p= , ,...2,1,0
±
±
=
N . (6.1)
Êàæäàÿ êîëüöåâàÿ çîíà âêëþ÷àåò, òàêèì îáðàçîì, îäíó îêòàâó âîë-
íîâûõ ÷èñåë (íàïîìíèì, ÷òî îêòàâîé íàçûâàåòñÿ èíòåðâàë, â ïðåäåëàõ êî-
òîðîãî ÷àñòîòà èçìåíÿåòñÿ â äâà ðàçà).
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïîëå çàâèõðåííîñòè ),,( yxt
w
è ïðåäñòàâèì åãî
â âèäå
å
=
N
N
yxtyxt ),,(),,( ww , (6.2)
ãäå êàæäàÿ ôóíêöèÿ
N
w åñòü ðåçóëüòàò ôèëüòðàöèè â ôóðüå-ïëîñêîñòè
ïî ñîîòâåòñòâóþùåìó êîëüöó (6 .1):
òò
¢¢¢
-
¢
-
¢¢
= ydxdyyxxgyxtyxt
NN
),(),,(),,( ww . (6.3)
Çäåñü )(rg
N
r
åñòü ôóíêöèÿ, ôóðüå-îáðàç êîòîðîé )(
?
kg
N
r
ëîêàëèçîâàí â
êîëüöå
î
í
ì
=
.N
,N
)k(g
êîëüöàâíå
êîëüöåâ
0
1
r
)
(6.4)
 ñèëó îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèè ôèëüòðàöèè (6.3)-(6.4)
NMMN
rd dww ~
ò
r
è, ñëåäîâàòåëüíî, ýíñòðîôèÿ ðàñïàäàåòñÿ íà ñóììó
å
ò
W==W
N
N
rd
r
2
2
1
w , rd
NN
r
ò
=W
2
2
1
w . (6.5)
Òàêóþ æå îïåðàöèþ ôèëüòðàöèè ìîæíî ïðèìåíèòü è ê ïîëþ ñêîðî-
ñòè, ðàçáèâ òåì ñàìûì è ýíåðãèþ íà ñóììó ýíåðãèé, ïðèíàäëåæàùèõ ðàç-
ëè÷íûì îêòàâàì âîëíîâûõ ÷èñåë
å
ò
å
==
N
N
N
N
rdvEE
rr
2
2
1
. (6.6)
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðîâåëè ïåðâóþ ÷àñòü ïîñòðîåíèÿ - ðàçáèëè èñ-
õîäíîå ïîëå ïî ìàñøòàáàì. Íà âòîðîì ýòàïå íóæíî ïðîâåñòè ðàçáèåíèå
ïîëó÷åííûõ ïîëåé
N
w íà ñóììó ôóíêöèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ õàðàêòåðèçóåò
ïîëå çàâèõðåííîñòè äàííîãî ìàñøòàáà òîëüêî â îïðåäåëåííîé îáëàñòè
ïðîñòðàíñòâà
74


                      r
               k N <| k |< k N + 1 ,          kN = p2N ,          N = 0,±1,±2,... .         (6.1)

     Êàæäàÿ êîëüöåâàÿ çîíà âêëþ ÷àåò, òàêèì îáðàçîì, îäíó îêòàâó âîë-
íîâûõ ÷èñåë (íàïîìíèì, ÷òî îêòàâîé íàçûâàåòñÿ èíòåðâàë, â ïðåäåëàõ êî-
òîðîãî ÷àñòîòà èçìåíÿåòñÿ â äâà ðàçà).
     Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïîëå çàâèõðåííîñòè w (t , x, y ) è ïðåäñòàâèì åãî
â âèäå
                        w (t , x, y ) = å w N (t , x, y ) ,             (6.2)
                                                   N



     ãäå êàæäàÿ ôóíêöèÿ w N åñòü ðåçóëüòàò ôèëüòðàöèè â ôóðüå-ïëîñêîñòè
ïî ñîîòâåòñòâóþ ù åìó êîëüöó (6 .1):

              w N (t , x, y ) = òòw (t , x ¢, y ¢) g N ( x - x ¢, y - y ¢)dx ¢dy ¢.         (6.3)

               r                                                                        r
     Çäåñü g N (r ) åñòü ôóíêöèÿ, ôóðüå-îáðàç êîòîðîé g?N (k ) ëîêàëèçîâàí â
êîëüöå

               ) r ì1              â êîëüöåN ,
               g( k ) = í                                                                   (6.4)
                        î0         âíåêîëüöà N .

     Â ñèëó îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèè ôèëüòðàöèè (6.3)-(6.4)
                                                                r
                                                 òw    N   w M dr ~ dNM


     è, ñëåäîâàòåëüíî, ýíñòðîôèÿ ðàñïàäàåòñÿ íà ñóììó

                               1       r                                  1     2 r
                         W=      òw 2 dr = å W N ,                WN =      òw N dr .       (6.5)
                               2           N                              2

      Òàêóþ æå îïåðàöèþ ôèëüòðàöèè ìîæíî ïðèìåíèòü è ê ïîëþ ñêîðî-
ñòè, ðàçáèâ òåì ñàìûì è ýíåðãèþ íà ñóììó ýíåðãèé, ïðèíàäëåæàù èõ ðàç-
ëè÷íûì îêòàâàì âîëíîâûõ ÷èñåë
                                                            1 r 2 r
                                   E = å EN = å
                                                            2ò
                                                              vN dr .                       (6.6)
                                          N            N



     Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðîâåëè ïåðâóþ ÷àñòü ïîñòðîåíèÿ - ðàçáèëè èñ-
õîäíîå ïîëå ïî ìàñø òàáàì. Í à âòîðîì ýòàïå íóæíî ïðîâåñòè ðàçáèåíèå
ïîëó÷åííûõ ïîëåé w N íà ñóììó ôóíêöèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ õàðàêòåðèçóåò
ïîëå çàâèõðåííîñòè äàííîãî ìàñø òàáà òîëüêî â îïðåäåëåííîé îáëàñòè
ïðîñòðàíñòâà

Страницы