Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

75
å
-=
n
NnNNnN
rrft )()(
r
r
ww , (6.7)
ãäå )(rf
N
r
åñòü áàçèñíûå ôóíêöèè ìàñøòàáà N ,
Nn
r
r
- ðàäèóñ-âåêòîð öåí-
òðà âèõðÿ (ôóíêöèè). Ôóíêöèè )(rf
N
r
äîëæíû áûòü ïîäîáíû è îáåñïå÷è-
âàòü ðàçðÿæåííóþ ìàòðèöó íåëèíåéíûõ âçàèìîäåéñòâèé
NnMmLl
X â óðàâíå-
íèè
å
+= ...
LlMmNnMmLlNnt
Xd www , (6.8)
ïîëó÷àþùåìñÿ ïðè ïðîåêòèðîâàíèè óðàâíåíèé Íàâüå - Ñòîêñà íà
ôóíêöèîíàëüíûé áàçèñ. Ïðè ýòîì õîòåëîñü áû èìåòü ïîëíûé îðòîíîðìè-
ðîâàííûé áàçèñ ôóíêöèé.
Óâû, óäîâëåòâîðèòü âñåì ïðèâåäåííûì òðåáîâàíèÿì íå óäàåòñÿ. Çà-
äà÷à èìååò ðåøåíèå â òàêîé ïîñòàíîâêå òîëüêî â îäíîìåðíîì ñëó÷àå. Îä-
íîìåðíûé áàçèñ, êîíå÷íî, íå èìååò èíòåðåñà ñ òî÷êè çðåíèÿ îïèñàíèÿ òóð-
áóëåíòíîñòè, íî åãî ïîñòðîåíèå ïðåäñòàâëÿåò ìåòîäè÷åñêèé èíòåðåñ è ìû
åãî ïðîâåäåì.
6.1.1. Îäíîìåðíûé èåðàðõè÷åñêèé áàçèñ
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ )(xf , äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå
Ôóðüå,
ò
¥
¥-
-
= dxe)x(f)(f
xigp
g
2
)
. (6.9)
Îñü âîëíîâûõ ÷èñåë
g
(íàïîìíèì, ÷òî
pg
2
=
k ) ðàçáèâàåì íà îêòàâû
N
N
2=g (ðèñ.6.2) è ââîäèì ôóíêöèè
î
í
ì
<<
=
+
çîíûâíå0
1NN
N
||)(f
)(f
gggg
g
)
)
(6.10)
Î÷åâèäíî, ÷òî
å
= )(f)(f
N
gg
)
)
. Ïîëó÷åííûå ôóíêöèè
N
f
?
îáëàäàþò çà-
ìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì - îíè äîïóñêàþò ïåðèîäè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå íà
âñþ îñü
g
ñ ïåðèîäîì
N
g2 (ðèñ.6.3)
Ðèñ.6.2
                                                                                   75


                                                 r r
                          w N = å w Nn (t ) f N (r - rNn ) ,                    (6.7)
                                   n


             r                                                             r
     ãäå f N (r ) åñòü áàçèñíûå ôóíêöèè ìàñø òàáà N , rNn - ðàäèóñ-âåêòîð öåí-
                                      r
òðà âèõðÿ (ôóíêöèè). Ô óíêöèè f N (r ) äîëæíû áûòü ïîäîáíû è îáåñïå÷è-
âàòü ðàçðÿæåííóþ ìàòðèöó íåëèíåéíûõ âçàèìîäåéñòâèé XNnMmLl â óðàâíå-
íèè

                           d t w Nn = å X NnMmLl w Mmw Ll + ... ,               (6.8)


      ïîëó÷àþ ù åìñÿ ïðè ïðîåêòèðîâàíèè óðàâíåíèé Í àâüå - Ñòîêñà íà
ôóíêöèîíàëüíûé áàçèñ. Ï ðè ýòîì õîòåëîñü áû èìåòü ïîëíûé îðòîíîðìè-
ðîâàííûé áàçèñ ôóíêöèé.
      Óâû, óäîâëåòâîðèòü âñåì ïðèâåäåííûì òðåáîâàíèÿì íå óäàåòñÿ. Çà-
äà÷à èìååò ðåø åíèå â òàêîé ïîñòàíîâêå òîëüêî â îäíîìåðíîì ñëó÷àå. Îä-
íîìåðíûé áàçèñ, êîíå÷íî, íå èìååò èíòåðåñà ñ òî÷êè çðåíèÿ îïèñàíèÿ òóð-
áóëåíòíîñòè, íî åãî ïîñòðîåíèå ïðåäñòàâëÿåò ìåòîäè÷åñêèé èíòåðåñ è ìû
åãî ïðîâåäåì.


6.1.1. Îäíîìåðíûé èåðàðõè÷åñêèé áàçèñ

     Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) , äëÿ êîòîðîé ñóù åñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå
Ô óðüå,
                                       ¥
                           )
                                       òf ( x )e        dx .                    (6.9)
                                                   - 2pig
                           f ( g) =                     x

                                       -¥



      Îñü âîëíîâûõ ÷èñåë g (íàïîìíèì, ÷òî k = 2pg) ðàçáèâàåì íà îêòàâû
gN = 2 (ðèñ.6.2) è ââîäèì ôóíêöèè
     N

                                       )
                          )          ì f ( g)               gN <| g|< gN + 1
                          f N ( g) = í                                         (6.10)
                                     î0                 âíåçîíû




                                       Ðèñ.6.2
                   )          )
     Î÷åâèäíî, ÷òî f ( g) = å f N ( g) . Ï îëó÷åííûå ôóíêöèè f?N îáëàäàþò çà-
ìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì - îíè äîïóñêàþò ïåðèîäè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå íà
âñþ îñü gñ ïåðèîäîì 2gN (ðèñ.6.3)

Страницы