Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

77
ò
=
nmNMMmNn
dxxfxf dd)()( ,
÷òî ñëåäóåò èç îðòîãîíàëüíîñòè ôóíêöèé â ôóðüå-ïðîñòðàíñòâå è èí-
âàðèàíòíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé îòíîñèòåëüíî ïðå-
îáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè (6.11) îïðåäåëÿþòñÿ
ôîðìóëîé
ò
= dxxfxfA
NnNn
)()( . (6.13)
Áàçèñíûå ôóíêöèè èìåþò äâîéíóþ èíäåêñàöèþ. Áîëüøîé èíäåêñ îò-
âå÷àåò çà ìàñøòàá, ìàëûé - çà ïîëîæåíèå ôóíêöèè â ïðîñòðàíñòâå. Óâåëè-
÷åíèå èíäåêñà N íà åäèíèöó ñæèìàåò ôóíêöèþ âäâîå, óâåëè÷åíèå èíäåêñà
n
íà åäèíèöó ñäâèãàåò ôóíêöèþ âäîëü îñè
x
íà âåëè÷èíó
N
h .
6.1.2. Äâóìåðíûé áàçèñ
Ïðîñòåéøèé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ äâóìåðíîãî áàçèñà ñîñòîèò â îïðåäå-
ëåíèè äâóìåðíîé ôóíêöèè êàê ïðîèçâåäåíèÿ îäíîìåðíûõ
)()(),( yfxfyxf
MmNnNnMm
= ,
îäíàêî, òàêèå ôóíêöèè íå ÿâëÿþòñÿ èçîòðîïíûìè è íå óäîâëåòâîðÿ-
þò òðåáîâàíèþ ïîäîáèÿ. Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî íå îñòàâëÿåò íàäåæä íà
ïîëó÷åíèå ïðîñòîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæå-
íèÿ.
Èñõîäÿ èç ëîêàëüíîé èçîòðîïèè ìåëêîìàñøòàáíîé òóðáóëåíòíîñòè è
ñòðåìëåíèÿ ïîëó÷èòü áàçèñ, îáðàçîâàííûé ðàçíîìàñøòàáíûìè, íî îäíî-
òèïíûìè ôóíêöèÿìè, ïîñòðîèì îòíîñèòåëüíî ïðîñòîé, íî «íå ñîâñåì îðòî-
ãîíàëüíûé» áàçèñ.
Èòàê, ðàñêëàäûâàåì ïîëå çàâèõðåííîñòè â ðÿä
å
-=
Nn
NnNnNn
rrtAyxt )()(),,(
r
r
ww , (6.14)
ãäå
Nn
A - çàâèñÿùàÿ îò âðåìåíè àìïëèòóäà,
Nn
w - îñåñèììåòðè÷íàÿ áà-
çèñíàÿ ôóíêöèÿ, ó êîòîðîé áîëüøîé èíäåêñ îòâå÷àåò çà ìàñøòàá, à ìàëûé -
çà ïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå, è
Nn
r
r
- ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ôóíêöèè.
Èñïîëüçóåì ââåäåííîå âûøå ðàçáèåíèå ñïåêòðàëüíîé ïëîñêîñòè íà
ðàñøèðÿþùèåñÿ êîëüöåâûå çîíû (6.1) è îïðåäåëèì áàçèñíóþ ôóíêöèþ òà-
êèì îáðàçîì, ÷òî åå ôóðüå-îáðàç ðàâåí êîíñòàíòå â ïðåäåëàõ ñîîòâåòñò-
âóþùåãî êîëüöà:
                                                                                77



                                òf   Nn   ( x) f Mm ( x)dx = dNM dnm ,


     ÷òî ñëåäóåò èç îðòîãîíàëüíîñòè ôóíêöèé â ôóðüå-ïðîñòðàíñòâå è èí-
âàðèàíòíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé îòíîñèòåëüíî ïðå-
îáðàçîâàíèÿ Ô óðüå. Êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè (6.11) îïðåäåëÿþòñÿ
ôîðìóëîé

                         ANn = òf ( x) f Nn ( x)dx .                        (6.13)

     Áàçèñíûå ôóíêöèè èìåþ ò äâîéíóþ èíäåêñàöèþ . Áîëüø îé èíäåêñ îò-
âå÷àåò çà ìàñø òàá, ìàëûé - çà ïîëîæåíèå ôóíêöèè â ïðîñòðàíñòâå. Óâåëè-
÷åíèå èíäåêñà N íà åäèíèöó ñæèìàåò ôóíêöèþ âäâîå, óâåëè÷åíèå èíäåêñà n
íà åäèíèöó ñäâèãàåò ôóíêöèþ âäîëü îñè x íà âåëè÷èíó hN .


6.1.2. Äâóìåðíûé áàçèñ

     Ï ðîñòåéø èé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ äâóìåðíîãî áàçèñà ñîñòîèò â îïðåäå-
ëåíèè äâóìåðíîé ôóíêöèè êàê ïðîèçâåäåíèÿ îäíîìåðíûõ

                                 f NnMm ( x, y ) = f Nn ( x) f Mm ( y ) ,

      îäíàêî, òàêèå ôóíêöèè íå ÿâëÿþ òñÿ èçîòðîïíûìè è íå óäîâëåòâîðÿ-
þ ò òðåáîâàíèþ ïîäîáèÿ. Ï îñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî íå îñòàâëÿåò íàäåæä íà
ïîëó÷åíèå ïðîñòîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæå-
íèÿ.
      È ñõîäÿ èç ëîêàëüíîé èçîòðîïèè ìåëêîìàñø òàáíîé òóðáóëåíòíîñòè è
ñòðåìëåíèÿ ïîëó÷èòü áàçèñ, îáðàçîâàííûé ðàçíîìàñø òàáíûìè, íî îäíî-
òèïíûìè ôóíêöèÿìè, ïîñòðîèì îòíîñèòåëüíî ïðîñòîé, íî «íå ñîâñåì îðòî-
ãîíàëüíûé» áàçèñ.
      È òàê, ðàñêëàäûâàåì ïîëåçàâèõðåííîñòè â ðÿä
                                                         r r
                         w (t , x, y ) = å ANn (t )w Nn (r - rNn ) ,        (6.14)
                                          Nn



      ãäå ANn - çàâèñÿù àÿ îò âðåìåíè àìïëèòóäà, w Nn - îñåñèììåòðè÷íàÿ áà-
çèñíàÿ ôóíêöèÿ, ó êîòîðîé áîëüø îé èíäåêñ îòâå÷àåò çà ìàñø òàá, à ìàëûé -
                                 r
çàïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå, è rNn - ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ôóíêöèè.
      È ñïîëüçóåì ââåäåííîå âûøå ðàçáèåíèå ñïåêòðàëüíîé ïëîñêîñòè íà
ðàñø èðÿþ ù èåñÿ êîëüöåâûå çîíû (6.1) è îïðåäåëèì áàçèñíóþ ôóíêöèþ òà-
êèì îáðàçîì, ÷òî åå ôóðüå-îáðàç ðàâåí êîíñòàíòå â ïðåäåëàõ ñîîòâåòñò-
âóþ ù åãî êîëüöà:

Страницы