Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

79
ëåííîñòè. Åñëè îáëàñòè ëîêàëèçàöèè â
r
r
è k
r
ïðîñòðàíñòâàõ èìåþò, ñîîò-
âåòñòâåííî, ðàçìåðû
r
D
è k
D
, òî, òðåáóÿ
p
2
=
D
D
kr , (6.20)
ïîëó÷àåì, ÷òî ïëîòíîñòü ôóíêöèé çàäàííîãî ìàñøòàáà
N
r ñâÿçàíà ñ
ïëîùàäüþ îáëàñòè ëîêàëèçàöèè ôóíêöèè â ïðîñòðàíñòâå ôóðüå
k
SD êàê
N
k
N
S
2
2
2
4
3
4
p
p
r =
D
= . (6.21)
Ïðè âû÷èñëåíèè (6.21) ó÷ëè, ÷òî
k
SD åñòü ïëîùàäü êîëüöåâîé îáëàñ-
òè (6.1). Ôîðìóëà (6.21) îòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî ÷èñëî âèõðåé ïðè ïåðåõîäå
îò ìàñøòàáà ê ìàñøòàáó ðàñòåò â ÷åòûðå ðàçà (åñòåñòâåííî, ÷òî â òðåõìåð-
íîì ñëó÷àå ýòî îòíîøåíèå áóäåò ðàâíî âîñüìè).
Âîïðîñ î ðàñïðåäåëåíèè ôóíêöèé â ïðîñòðàíñòâå áîëåå ñëîæåí.
Ôîðìóëèðóÿ òðåáîâàíèÿ ê áàçèñó, ìû õîòåëè âîñïðîèçâåñòè ñòðóêòóðó
òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà, â êîòîðîì ìåëêèå âèõðè ïåðåíîñÿòñÿ êðóïíûìè.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ôóíêöèè äîëæåí ïîä÷èíÿòüñÿ
óðàâíåíèþ
å
å
<
-=
NM m
MmNnMmNnt
rrvrd )(
r
r
r
r
. (6.22)
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ñóììèðîâàíèå â (6.22) âåäåòñÿ ïî âñåì ìàñøòàáàì,
áîëüøèì äàííîãî.
Ââåäåííûé òàêèì îáðàçîì áàçèñ îðòîãîíàëåí ïî èíäåêñó N , òàê êàê
â ôóðüå-ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèè ðàçëè÷íîãî ìàñøòàáà çàíèìàþò íåïåðå-
êðûâàþùèåñÿ îáëàñòè. Íåîðòîãîíàëüíîñòü ôóíêöèé ïî ìàëîìó èíäåêñó,
îòâå÷àþùåìó çà ïîëîæåíèå âèõðåé â ïðîñòðàíñòâå, ìîæíî îöåíèòü ïóòåì
âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà
rd
MmNn
r
ww äëÿ äâóõ âèõðåé îäíîãî ìàñøòàáà, ðàñïî-
ëîæåííûõ äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèè
2/1-
N
r , ðàâíîì ñðåäíåìó ðàññòîÿíèþ
ìåæäó âèõðÿìè äàííîãî ìàñøòàáà. Òàêàÿ îöåíêà äàåò äëÿ ôóíêöèé (6.19)
çíà÷åíèå ïîðÿäêà 0,1.
6.1.3. Òðåõìåðíûé áàçèñ
Ïîñòðîåíèå èåðàðõè÷åñêîãî áàçèñà äëÿ òðåõìåðíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
ïðèíöèïèàëüíî íå îòëè÷àåòñÿ îò äâóìåðíîãî ñëó÷àÿ.  ïðîñòðàíñòâå Ôóðüå
ôóíêöèè ëîêàëèçóþòñÿ â ñôåðè÷åñêèõ ñëîÿõ è, ïîñëå ïåðåõîäà â ôèçè÷åñêîå
                                                                                   79


                                                      r      r
ëåííîñòè. Åñëè îáëàñòè ëîêàëèçàöèè â r è k ïðîñòðàíñòâàõ èìåþò, ñîîò-
âåòñòâåííî, ðàçìåðû Dr è Dk , òî, òðåáóÿ

                                                                 DrDk = 2p ,   (6.20)

     ïîëó÷àåì, ÷òî ïëîòíîñòü ôóíêöèé çàäàííîãî ìàñø òàáà r N ñâÿçàíà ñ
ïëîù àäüþ îáëàñòè ëîêàëèçàöèè ôóíêöèè â ïðîñòðàíñòâå ôóðüå DS k êàê

                                 DS k 3p 2 N
                          rN =        =   2 .                                  (6.21)
                                 4p 2   4

      Ï ðè âû÷èñëåíèè (6.21) ó÷ëè, ÷òî DS k åñòü ïëîù àäü êîëüöåâîé îáëàñ-
òè (6.1). Ô îðìóëà (6.21) îòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî ÷èñëî âèõðåé ïðè ïåðåõîäå
îò ìàñø òàáà ê ìàñø òàáó ðàñòåò â ÷åòûðå ðàçà (åñòåñòâåííî, ÷òî â òðåõìåð-
íîì ñëó÷àåýòî îòíîø åíèå áóäåò ðàâíî âîñüìè).
      Âîïðîñ î ðàñïðåäåëåíèè ôóíêöèé â ïðîñòðàíñòâå áîëåå ñëîæåí.
Ô îðìóëèðóÿ òðåáîâàíèÿ ê áàçèñó, ìû õîòåëè âîñïðîèçâåñòè ñòðóêòóðó
òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà, â êîòîðîì ìåëêèå âèõðè ïåðåíîñÿòñÿ êðóïíûìè.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ôóíêöèè äîëæåí ïîä÷èíÿòüñÿ
óðàâíåíèþ
                              r                r     r     r
                          d t rNn =   å åv
                                      M

Страницы