Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

81
Ýëåìåíòû ìàòðèö
NnMm
P ,
NnMm
K è
NnMmLl
R çàâèñÿò îò âðåìåíè, òàê îíè çà-
âèñÿò îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ âçàèìîäåéñòâóþùèõ âèõðåé, à ïîëîæå-
íèÿ âèõðåé ìåíÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (6.22). Ýíñòðîôèÿ è
ýíåðãèÿ ñèñòåìû îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè
å
å
=W
Nn Mm
MmNnNnMm
AAP , (6.30)
å
å
¢
=
Nn Mm
MmNnNnMm
AAPE , (6.31)
ãäå
ò
=
¢
rdvvP
MmNnNnMm
r
r
r
. (6.32)
Íà ýòîì ýòàïå äåëàåòñÿ ïåðâîå ñèëüíîå ïðåäïîëîæåíèå, ñîñòîÿùåå â
òîì, ÷òî ìû ïðåíåáðåãàåì íåäèàãîíàëüíîñòüþ ìàòðèö
P
,
P
¢
è
K
ïî ìàëî-
ìó èíäåêñó (ïî áîëüøîìó èíäåêñó ìàòðèöû äèàãîíàëüíû â ñèëó ñïîñîáà
ðàçáèåíèÿ ïðîñòðàíñòâà âîëíîâûõ âåêòîðîâ). Òîãäà
å
=W
Nn
Nn
A
2
,
å
-
=
Nn
Nn
N
AEE
2
2
0
2
, (6.33)
à óðàâíåíèå (6.26) ïðèíèìàåò âèä
å
å
-=
Mm Ll
Nn
N
LlMmNnMmLlNnt
AKAARAd
2
0
2n . (6.34)
Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî
äèàãîíàëüíîñòü ìàòðèöû
P
íå
âëå÷åò çà ñîáîé äèàãîíàëüíîñòè
ìàòðèöû
K
(ýòèì çàìå÷àòåëüíûì
ñâîéñòâîì îáëàäàåò ïðåäñòàâëåíèå
ôóíêöèé â ðÿä Ôóðüå) è ïîñëåäíåå
ÿâëÿåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíûì ïðåä-
ïîëîæåíèåì.
ßñíî, ÷òî ñòåïåíü ïðîñòîòû
(èëè ñëîæíîñòè) ïîëó÷àåìîé ìî-
äåëè çàâèñèò îò ñòðóêòóðû ìàòðè-
öû íåëèíåéíûõ âçàèìîäåéñòâèé
NnMmLl
R . Ïåðåä òåì, êàê ïðèñòóïèòü
ê ñëåäóþùèì êîíêðåòíûì øàãàì
ïî óïðîùåíèþ ìîäåëüíûõ óðàâíå-
íèé, ïðîàíàëèçèðóåì îáùóþ
ñòðóêòóðó ýòîé ìàòðèöû. Äëÿ ýòî-
ãî çàïèøåì âèä åå ýëåìåíòîâ â ïðîñòðàíñòâå Ôóðüå
Ðèñ.6.6
                                                                                  81



     Ýëåìåíòû ìàòðèö PNnMm , K NnMm è R NnMmLl çàâèñÿò îò âðåìåíè, òàê îíè çà-
âèñÿò îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ âçàèìîäåéñòâóþ ù èõ âèõðåé, à ïîëîæå-
íèÿ âèõðåé ìåíÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (6.22). Ýíñòðîôèÿ è
ýíåðãèÿ ñèñòåìû îïðåäåëÿþ òñÿ âûðàæåíèÿìè

                             W =å  åP        NnMm   ANn AMm ,                 (6.30)
                                     Nn Mm

                             E = å å P¢      NnMm   ANn AMm ,                 (6.31)
                                     Nn Mm

ãäå
                                   r r r
                              ¢ = òv Nn v Mm dr .
                             PNnMm                                            (6.32)

      Í à ýòîì ýòàïå äåëàåòñÿ ïåðâîå ñèëüíîå ïðåäïîëîæåíèå, ñîñòîÿù åå â
òîì, ÷òî ìû ïðåíåáðåãàåì íåäèàãîíàëüíîñòüþ ìàòðèö P , P ¢ è K ïî ìàëî-
ìó èíäåêñó (ïî áîëüø îìó èíäåêñó ìàòðèöû äèàãîíàëüíû â ñèëó ñïîñîáà
ðàçáèåíèÿ ïðîñòðàíñòâà âîëíîâûõ âåêòîðîâ). Òîãäà

                   W = å ANn ,                   E = E 0 å 2 - 2 N ANn ,      (6.33)
                                 2                                     2

                        Nn                                Nn



à óðàâíåíèå (6.26) ïðèíèìàåò âèä

                   d t ANn = å   åR     NnMmLl   AMm ALl - nK 0 2 2 N ANn .   (6.34)
                              Mm Ll



          Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî
äèàãîíàëüíîñòü ìàòðèöû P íå
âëå÷åò çà ñîáîé äèàãîíàëüíîñòè
ìàòðèöû K (ýòèì çàìå÷àòåëüíûì
ñâîéñòâîì îáëàäàåò ïðåäñòàâëåíèå
ôóíêöèé â ðÿä Ô óðüå) è ïîñëåäíåå
ÿâëÿåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíûì ïðåä-
ïîëîæåíèåì.
          ßñíî, ÷òî ñòåïåíü ïðîñòîòû
(èëè ñëîæíîñòè) ïîëó÷àåìîé ìî-
äåëè çàâèñèò îò ñòðóêòóðû ìàòðè-
öû íåëèíåéíûõ âçàèìîäåéñòâèé
 R NnMmLl . Ï åðåä òåì, êàê ïðèñòóïèòü
ê ñëåäóþ ù èì êîíêðåòíûì ø àãàì
ïî óïðîù åíèþ ìîäåëüíûõ óðàâíå-
íèé, ïðîàíàëèçèðóåì             îáù óþ            Ðèñ.6.6
ñòðóêòóðó ýòîé ìàòðèöû. Äëÿ ýòî-
ãî çàïèø åì âèä ååýëåìåíòîâ â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå

Страницы