Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 82 стр.

82


                              r r           r         ) r r r)
                                                               [
           R NnMmLl = òw Nn ( v Mm Ñ )w Ll dr = 2pi òòw Nn ( g) g¢           ]
                                                                        r r ) r r r
                                                                 v Mm ( g- g¢) w Ll ( g¢)dg
                                                                                          dg¢.         (6.35)

        È íòåãðèðîâàíèå â (6.35) âåäåòñÿ ïî ïåðåñå÷åíèþ îáëàñòåé
                  r                        r r                               r
           2 N <| g|< 2 N + 1 ,     2 M <| g- g¢|< 2 M + 1 ,          2 L <| g¢|< 2 L + 1 ,            (6.36)

÷òî è îïðåäåëÿåò õàðàêòåð çàïîëíåíèÿ ìàòðèöû. Âñå òðè óñëîâèÿ (6.36) âû-
ïîëíÿþ òñÿ òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè äâà èçòðåõ èíäåêñîâ N , M è L îòëè÷àþ ò-
ñÿ íå áîëüø å, ÷åì íà åäèíèöó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå íåíóëåâûå ýëåìåíòû
ìàòðèöû ñîñðåäîòî÷åíû âáëèçè äèàãîíàëåé N = M , N = L è L = M , ïðè÷åì
òðåòèé èíäåêñ ìîæåò ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ îò äâóõ, áëèçêèõ ïî çíà÷åíèþ , íî
áûòü ìåíüø å ïîñëåäíèõ (ìîæíî ïîñòðîèòü òðåóãîëüíèê èç äâóõ äëèííûõ
îòðåçêîâ è îäíîãî êîðîòêîãî, íî íåëüçÿ ïîñòðîèòü èç îäíîãî äëèííîãî è
äâóõ êîðîòêèõ). Ñòðóêòóðó ìàòðèöû èëëþ ñòðèðóåò ðèñ.6.6, íà êîòîðîì ïî-
ìå÷åíû âñå íåíóëåâûåýëåìåíòû ìàòðèöû. ×åðíûì öâåòîì âûäåëåí ýëåìåíò
TNNN , à êðåñòèêàìè - äèàãîíàëü TNMN .
       Äàëüíåéø åå ïîñòðîåíèå ìîäåëè òðåáóåò íîâûõ ïðåäïîëîæåíèé è ãè-
                                        ïîòåç, êîòîðûåìîãóò áûòü ñäåëàíû
                                        ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Í å îñòà-
                                        íàâëèâàÿñü íà àëüòåðíàòèâíûõ
                                        ñïîñîáàõ, ìû êðàòêî îïèø åì ìî-
                                        äåëü, ðàññìîòðåííóþ â ðàáîòå12, è
                                        ïðèâåäåì íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû.
                                              Ì îäåëü íàçûâàåòñÿ èåðàðõè-
                                        ÷åñêîé ïîòîìó, ÷òî áàçèñíûå
                                        ôóíêöèè îáðàçóþ ò èåðàðõè÷åñêóþ
                                        ñòðóêòóðó, óñëîâíî èçîáðàæåííóþ
                                        íà ðèñ.6.7. Ñîâîêóïíîñòü âèõðåé
                                        îäíîãî ìàñø òàáà áóäåì íàçûâàòü
                                        ÿðóñîì. Êàæäûé âèõðü äàííîãî
                                        ÿðóñà íåñåò íà ñåáå ÷åòûðå âèõðÿ
                                        ñëåäóþ ù åãî è òàê äàëåå. Ï ðè ýòîì
                 Ðèñ.6.7
                                        ïðåäïîëàãàåòñÿ,    ÷òî ìåíüø èé
                                        âèõðü ïåðåíîñèòñÿ áîëüø èì áåç
äåôîðìàöèè, òî åñòü ìåíüø èé ñîâåðø àåò ñòðîãî îñåñèììåòðè÷íîå îòíîñè-
òåëüíî áîëüø åãî äâèæåíèå, êîòîðîå îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè äëÿ öåíòðà
âèõðÿ (6.22). Ýòî ïðåäïîëîæåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ðàññòîÿíèåìåæäó öåíòðàìè
ïàðû âèõðåé, ñâÿçàííûõ âåðòèêàëüíîé ñâÿçüþ íà ñõåìå ðèñ.6.7, îñòàåòñÿ
ïîñòîÿííûì.
       Ñëåäóþ ù èé ø àã êàñàåòñÿ âèäà ìàòðèöû íåëèíåéíûõ âçàèìîäåéñòâèé
(6.29). Îáÿçàòåëüíûì óñëîâèåì ÿâëÿåòñÿ ñîáëþ äåíèå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ -

12
 Aurell E., Frick P., Shaidurov V. Hierarshical tree-model of two-dimensional turbulence // Physica D, 1994.
Vol.72. P.95-109.