Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 83 стр.

                                                                                                                        83



óðàâíåíèÿ ïðè îòñóòñòâèè äèññèïàòèâíîãî ÷ëåíà äîëæíû ñîõðàíÿòü ýíåð-
ãèþ è ýíñòðîôèþ, îïðåäåëåííûå âûðàæåíèÿìè (6.33). Äëÿ òîãî, ÷òîáû
îáåñïå÷èòü ñîõðàíåíèå êâàäðàòè÷íûõ âåëè÷èí, íóæíî ÷òîáû îíè ñîõðàíÿ-
ëèñü â åäèíè÷íîì âçàèìîäåéñòâèè òðåõ âèõðåé. Ï åðåïèø åì óðàâíåíèå
(6.34) â âèäå

                              d t ANn =      ååT
                                             L > M ml
                                                                 NnMmLl   AMm ALl - nK 0 2 2 N ANn ,                (6.37)


ãäå ìàòðèöà T âêëþ ÷àåò âñå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äàííîé òðîéêîé âèõðåé
(ìàòðèöó R ñëîæèëè âäîëü äèàãîíàëè L = M ) TNnMmLl = R NnMmL + R NnLlMm è çàìå-
òèì, ÷òî ýëåìåíòû ìàòðèöû T çàâèñÿò òîëüêî îò îòíîñèòåëüíîãî ïîëîæå-
íèÿ òðåõ âèõðåé è îòíîø åíèÿ èõ ìàñø òàáîâ (íîìåðîâ ÿðóñîâ)
                       r r r                      r r                                      r        r
              TNnMmLl (rNn , rMm , rLl ) = T NML (rmn , rln ) = 2 N T0, M - N , L - N (2 N rmn ,2 N rln ) ,         (6.38)
    r    r   r            r          r      r
ãäå rmn = rMm - rNn è rln = rLl - rNn .
      Ñ ó÷åòîì (6.38) çàïèø åì óñëîâèÿ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è ýíñòðîôèè,
èñïîëüçóÿ òîëüêî áîëüø èå èíäåêñû ìàòðèöû:

              TN , N -   j,N + 1   + 2 j TN , N +    j ,N + j + 1    + 2 - 1 TN , N -     j - 1, N - 1   = 0,       (6.39)
              TN , N -   j,N + 1   + 2 - j TN , N +    j,N + j+ 1     + 2TN , N -       j - 1, N - 1   = 0.         (6.40)

      Îòìåòèì, ÷òî íàëè÷èå äâóõ çàêîíîâ
ñîõðàíåíèÿ èñêëþ ÷àåò íàëè÷èå íåíóëåâûõ
äèàãîíàëüíûõ ÷ëåíîâ è îñòàâëÿåò â ìàò-
ðèöå òîëüêî ýëåìåíòû òðåõ òèïîâ, âîø åä-
ø èå â ñîîòíîø åíèÿ (6.39)-(6.40). Ðåø àÿ
ñèñòåìó (6.39)-(6.40), âûðàæàåì âñå ýëå-
ìåíòû ÷åðåç îäèí, êîòîðûé äëÿ óïðîù å-
íèÿ îáîçíà÷åíèé ïåðåîáîçíà÷èì êàê Tj
(èíäåêñ j õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü óäàëåí-
íîñòè âçàèìîäåéñòâóþ ù èõ âèõðåé: j = 1
îçíà÷àåò, ÷òî âçàèìîäåéñòâóþ ò âèõðè èç
òðåõ ïîñëåäóþ ù èõ ÿðóñîâ; j = 2 ñîîòâåòñò-
                                                      Ðèñ.6.8
âóåò âçàèìîäåéñòâèþ äâóõ âèõðåé èç ñî-
ñåäíèõ ÿðóñîâ ñ òðåòüèì, êîòîðûé îòñòîèò îò íèõ ÷åðåç îäèí ÿðóñ, è ò.ä.),

                                          TN , N -    j ,N + 1   = 2 N T0, -     j ,1    = 2 N Tj ,


                                                                     = 2 N T¢
                                                                                                 (
                                                                                          2 N 1 - 2- 2 j
                                                                                                         Tj ,
                                                                                                                )
                                                                            j =
                                          TN , N -    j - 1, N - 1
                                                                                           (
                                                                                           2- 2 j- 1 - 2        )