Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 88 стр.

88



ñëåäîâàíèè ñòðóêòóðû ïðîñòðàíñòâåííûõ ïîëåé. Âðåìåííûå ðÿäû ïðåä-
ñòàâëÿþ ò ñîáîé îäíîìåðíûé ñèãíàë è âñå îñíîâíûå èäåè ïðîù å ïðîäåìîí-
ñòðèðîâàòü íà çàäà÷àõ àíàëèçà âðåìåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Ï î ýòîé
ïðè÷èíåìû çàáóäåì íà íåêîòîðîå âðåìÿ î ïðîñòðàíñòâåííûõ ïîëÿõ è ïåðå-
êëþ ÷èìñÿíà ñèãíàëû âèäà f (t ) .
      Ï åðâàÿ ïîïûòêà ïîñòðîèòü ôóíêöèîíàëüíûé áàçèñ, ñîñòîÿù èé èç
ôóíêöèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ õàðàêòåðèçóåò ïóëüñàöèè îïðåäåëåííîé ïðî-
äîëæèòåëüíîñòè â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè, ïðèíàäëåæèò À.Õààðó
(1909ã.). Ï åðâûå ñåìü ôóíêöèé Õààðà, ïîñòðîåííûå íà åäèíè÷íîì îòðåçêå,
ïîêàçàíû íà ðèñ.6.14. Êàæäàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðó ñëåäóþ -
ù èõ äðóã çà äðóãîì ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ ñ ðàçíûìè çíàêàìè è îäè-
íàêîâîé äëèòåëüíîñòüþ . Ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé ôóíêöèè ðàâíî íóëþ , à
ñîâîêóïíîñòü ôóíêöèé îáðàçóåò ïîëíûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ. Êàæ-
äàÿ ôóíêöèÿ ñòðîãî ëîêàëèçîâàíà â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (âî âðåìåíè),
íî õàðàêòåðèçóåòñÿìåäëåííî ñïàäàþ ù èì ñïåêòðîì ÷àñòîò (êàê 1 / n ).
                                          Ñëåäóþ ù èì ø àãîì ñòàëè ôóíê-
                                  öèè Ëèòëâóäà - Ï åëëè (1937ã.). È ìåííî
                                  ýòî ñåìåéñòâî ôóíêöèé ïîëó÷àåòñÿ ïðè
                                  ïîñòðîåíèè îäíîìåðíîãî èåðàðõè÷å-
                                  ñêîãî áàçèñà. Ô óíêöèè ñòðîÿòñÿ ïóòåì
                                  âûðåçàíèÿ ïîëîñû ÷àñòîò â ïðîñòðàí-
                                  ñòâå Ô óðüå. Ýòî äàåò ñòðîãóþ ëîêàëè-
                                  çàöèþ â ïðîñòðàíñòâå ÷àñòîò, íî ìåä-
                                  ëåííîå çàòóõàíèå ôóíêöèè â ôèçè÷å-
                                  ñêîì ïðîñòðàíñòâå (âî âðåìåíè): ôóíê-
              Ðèñ..6.15           öèè îïèñûâàþ ò îñöèëëÿöèè, àìïëèòóäà
                                  êîòîðûõ ïàäàåòêàê 1 / t .
      Âàæíûì ýòàïîì â ðàçâèòèè èäåè ëîêàëüíîãî àíàëèçà ñïåêòðàëüíûõ
(÷àñòîòíûõ) ñâîéñòâ ñòàëî ïðåîáðàçîâàíèå Ãàáîðà (1946ã.), íàçûâàåìîå
òàêæå ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèåì â îêíàõ. Ô óíêöèè Ãàáîðà ïðåäñòàâëÿþò ñî-
áîé ãàðìîíè÷åñêèé ñèãíàë, ìîäóëèðîâàííûé ôóíêöèåé Ãàóññà. Îíè õîðî-
ø î ëîêàëèçîâàíû è âî âðåìåíè è â ÷àñòîòàõ, íî êàæäàÿ ôóíêöèÿ Ãàáîðà
õàðàêòåðèçóåòñÿ òðåìÿ ïàðàìåòðàìè: ïîëîæåíèåì öåíòðà îêíà t 0 , ø èðèíîé
îêíà t è ÷àñòîòîé îñöèëëÿöèé n (ðèñ.6.15). Ï ðè ýòîì ôóíêöèè ðàçëè÷íîãî
ìàñø òàáà íå ÿâëÿþ òñÿ ïîäîáíûìè (èìåþ ò ðàçëè÷íîå ÷èñëî îñöèëëÿöèé).
      Âåéâëåòû îáúåäèíèëè â ñåáå äâà âàæíûõ ñâîéñòâà - ïîäîáèå è âûðà-
æåííóþ ëîêàëèçîâàííîñòü â ôèçè÷åñêîì è ôóðüå-ïðîñòðàíñòâàõ. Ñôîðìó-
ëèðóåì òðåáîâàíèÿ, êîòîðûì äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ñåìåéñòâî ôóíêöèé,
÷òîáû áûòü âåéâëåòàìè.
      1) Äîïóñòèìîñòü. Ô óíêöèÿ y (t ) , êîòîðóþ áóäåì íàçûâàòü àíàëèçè-
ðóþ ù èì âåéâëåòîì (óïîòðåáëÿþ ò òàêæå òåðìèí ìàòåðèíñêèé âåéâëåò),
äîëæíà èìåòü íóëåâîå ñðåäíåå çíà÷åíèå: