Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

89
ò
¥
¥-
= 0)( dtty . (6.45)
Ýòî óñëîâèå ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíî è áîëåå ñòðîãî. Ãîâîðÿò, ÷òî )(t
y
åñòü âåéâëåò ïîðÿäêà
M
, åñëè äëÿ âñåõ Mm
£
âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
ò
¥
¥-
= 0)( dttt
m
y , (6.46)
òðåáóþùåå ðàâåíñòâà íóëþ
M
ïåðâûõ ìîìåíòîâ âåéâëåòà.
2) Ïîäîáèå. Âñå ôóíêöèè ñåìåéñòâà ïîëó÷àþòñÿ èç àíàëèçèðóþùåãî
âåéâëåòà ïóòåì ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è ñäâèãà,
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
a
bt
t
ba
yy )(
,
. (6.47)
Òàêèì îáðàçîì, âåéâëåòû îáðàçóþò äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ôóíê-
öèé, â êîòîðîì ïàðàìåòð
a
îòâå÷àåò çà ìàñøòàá (ðàñòÿæåíèå) ôóíêöèè, à
ïàðàìåòð b - çà åå ïîëîæåíèå (ñäâèã).
3) Îáðàòèìîñòü. Âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå äîëæíî áûòü îáðàòèìî, òî
åñòü äîëæíî ñóùåñòâîâàòü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå, îäíîçíà÷íî âîññòà-
íàâëèâàþùåå èñõîäíóþ ôóíêöèþ ïî åå âåéâëåò-ïðåäñòàâëåíèþ.
4) Ðåãóëÿðíîñòü. Ôóíêöèÿ )(t
y
äîëæíà áûòü õîðîøî ëîêàëèçîâàíà è â
ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå è â ïðîñòðàíñòâå Ôóðüå.
Ñîãëàñíî ïîñëåäíåìó òðåáîâàíèþ è ôóíêöèè Õààðà è ôóíêöèè Ëèò-
ëâóäà - Ïåëëè íå ïîïàäàþò ïîä îïðåäåëåíèå âåéâëåòîâ. Ïî ñóòè, îíè ÿâëÿ-
þò ñîáîé äâà ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿ (â îäíîì ñëó÷àå ðåçêèå ãðàíèöû â ôèçè÷å-
ñêîì ïðîñòðàíñòâå ïðèâîäÿò ê áåñêîíå÷íûì â ïðèíöèïå õâîñòàì â ïðî-
ñòðàíñòâå ÷àñòîò è, íàîáîðîò, îáðûâ â ïðîñòðàíñòâå ÷àñòîò äàåò äëèííûå
õâîñòû â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå â äðóãîì).
 îòëè÷èå îò ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå äîïóñ-
êàåò øèðîêèé âûáîð àíàëèçèðóþùåé ôóíêöèè. Ñîãëàñíî ïåðâîìó òðåáî-
âàíèþ, âåéâëåò âñåãäà ÿâëÿåòñÿ çíàêîïåðåìåííîé ôóíêöèåé, âêëþ÷àþùåé
îáû÷íî íåáîëüøîå êîëè÷åñòâî îñöèëëÿöèé. Âûáîð êîíêðåòíîãî âèäà âåéâ-
Ðèñ.6.16
                                                                         89


                              ¥

                              òy (t )dt = 0 .
                              -¥
                                                                     (6.45)


Ýòî óñëîâèå ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíî è áîëåå ñòðîãî. Ãîâîðÿò, ÷òî y (t )
åñòü âåéâëåò ïîðÿäêà M , åñëè äëÿ âñåõ m £ M âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
                              ¥

                              òt          y (t )dt = 0 ,             (6.46)
                                     m

                              -¥



òðåáóþ ù ååðàâåíñòâà íóëþ M ïåðâûõ ìîìåíòîâ âåéâëåòà.
     2) Ï îäîáèå. Âñå ôóíêöèè ñåìåéñòâà ïîëó÷àþòñÿ èç àíàëèçèðóþ ù åãî
âåéâëåòà ïóòåì ìàñø òàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è ñäâèãà,

                                                   æt - b ö
                              y    a ,b   (t ) = y ç      ÷.         (6.47)
                                                   è a ø

Òàêèì îáðàçîì, âåéâëåòû îáðàçóþò äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ôóíê-
öèé, â êîòîðîì ïàðàìåòð a îòâå÷àåò çà ìàñø òàá (ðàñòÿæåíèå) ôóíêöèè, à
ïàðàìåòð b - çàååïîëîæåíèå (ñäâèã).
      3) Îáðàòèìîñòü. Âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå äîëæíî áûòü îáðàòèìî, òî
åñòü äîëæíî ñóù åñòâîâàòü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå, îäíîçíà÷íî âîññòà-
íàâëèâàþ ù ååèñõîäíóþ ôóíêöèþ ïî ååâåéâëåò-ïðåäñòàâëåíèþ .
      4) Ðåãóëÿðíîñòü. Ô óíêöèÿ y (t ) äîëæíà áûòü õîðîø î ëîêàëèçîâàíà è â
ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå è â ïðîñòðàíñòâå Ô óðüå.

      Ñîãëàñíî ïîñëåäíåìó òðåáîâàíèþ è ôóíêöèè Õààðà è ôóíêöèè Ëèò-
ëâóäà - Ï åëëè íå ïîïàäàþò ïîä îïðåäåëåíèå âåéâëåòîâ. Ï î ñóòè, îíè ÿâëÿ-
þ ò ñîáîé äâà ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿ (â îäíîì ñëó÷àå ðåçêèå ãðàíèöû â ôèçè÷å-
ñêîì ïðîñòðàíñòâå ïðèâîäÿò ê áåñêîíå÷íûì â ïðèíöèïå õâîñòàì â ïðî-
ñòðàíñòâå ÷àñòîò è, íàîáîðîò, îáðûâ â ïðîñòðàíñòâå ÷àñòîò äàåò äëèííûå
õâîñòû â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå â äðóãîì).
       îòëè÷èå îò ïðåîáðàçîâàíèÿ Ô óðüå, âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå äîïóñ-
êàåò ø èðîêèé âûáîð àíàëèçèðóþ ù åé ôóíêöèè. Ñîãëàñíî ïåðâîìó òðåáî-
âàíèþ , âåéâëåò âñåãäà ÿâëÿåòñÿ çíàêîïåðåìåííîé ôóíêöèåé, âêëþ ÷àþ ù åé
îáû÷íî íåáîëüø îå êîëè÷åñòâî îñöèëëÿöèé. Âûáîð êîíêðåòíîãî âèäà âåéâ-




                                          Ðèñ.6.16

Страницы