Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

91
Óñëîâèå (6.51) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ (6.45), òàê êàê èíòåãðàë (6.51) ðàñõî-
äèòñÿ ïðè íàëè÷èè â ñïåêòðå âåéâëåòà íóëåâûõ ÷àñòîò, ÷òî ðàâíîñèëüíî îò-
ëè÷íîìó îò íóëÿ ñðåäíåìó çíà÷åíèþ.  îïðåäåëåíèè (6.50) ïðèñóòñòâóåò ïà-
ðàìåòð
k
- ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ìàñøòàáíîãî ìíîæèòåëÿ. Êîíêðåòíûé âû-
áîð ýòîãî ïàðàìåòðà çàâèñèò îò öåëåé àíàëèçà. Øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ íîð-
ìèðîâêà
1
-
=
k
, ïðè êîòîðîé ðàâíûå çíà÷åíèÿ âåéâëåò-êîýôôèöèåíòîâ
),( baw ñîîòâåòñòâóþò ðàâíûì àìïëèòóäàì ïóëüñàöèé ñèãíàëà, íåçàâèñèìî
îò ìàñøòàáà ïóëüñàöèé.
Âåéâëåò-îáðàç ),( baw ôóíêöèè )(tf ìîæíî âûðàçèòü è ÷åðåç åå ôóðüå-
îáðàç )(
?
wf . Äåéñòâèòåëüíî,
( ) ( )
ò ò
¥ ¥
¥-
+
-
=
0
2
1
k
w
y
wyw
a
dadb
eb,awa
C
)(f
bi
)
)
, (6.53)
à
( )
ò
¥
¥-
+
= wwwy
p
w
k
de)(fa
a
)b,a(w
ib*
)
)
2
1
4
. (6.54)
Ïîëüçóÿñü ñîîòíîøåíèÿìè (6.53)-(6.54) è òåîðåìîé Ïàðñåâàëÿ (2.26)
íåñëîæíî ïîëó÷èòü àíàëîã ýòîé òåîðåìû äëÿ âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ
ò òò
¥ ¥
¥-
+
¥
¥-
=
0
23
21
2
21
1
k
y
a
dadb
)b,a(w)b,a(w
C
dt)t(f)t(f
**
, (6.55)
èç êîòîðîãî, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò
ò òò ò
¥ ¥
¥-
+
¥
¥-
¥
¥-
==
0
23
2
2
2
2
2
1
4
1
k
y
ww
p a
dadb
|)b,a(w|
C
d|)(f
?
|dt|)t(f|
. (6.56)
Íàïîìíèì, ÷òî â ôóðüå-àíàëèçå ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ÿâëÿåò-
ñÿ âåëè÷èíà
2
|)(
?
|)( ww fE = (íàçûâàåìàÿ òàêæå ñïåêòðîì ýíåðãèè) è ââåäåì
âåëè÷èíó
ò
¥
¥-
= dbbawaM
2
|),(|)( , (6.57)
êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò èíòåíñèâíîñòü âñåõ ïóëüñàöèé çàäàííîãî ìàñøòàáà.
Åñëè â îïðåäåëåíèè âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëîæèòü 2/1
-
=
k
, òî ôîðìó-
ëó (6.56) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
                                                                                                                            91



Óñëîâèå (6.51) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ (6.45), òàê êàê èíòåãðàë (6.51) ðàñõî-
äèòñÿ ïðè íàëè÷èè â ñïåêòðå âåéâëåòà íóëåâûõ ÷àñòîò, ÷òî ðàâíîñèëüíî îò-
ëè÷íîìó îò íóëÿ ñðåäíåìó çíà÷åíèþ .  îïðåäåëåíèè (6.50) ïðèñóòñòâóåò ïà-
ðàìåòð k - ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ìàñø òàáíîãî ìíîæèòåëÿ. Êîíêðåòíûé âû-
áîð ýòîãî ïàðàìåòðà çàâèñèò îò öåëåé àíàëèçà. Ø èðîêî èñïîëüçóåòñÿ íîð-
ìèðîâêà k = - 1 , ïðè êîòîðîé ðàâíûå çíà÷åíèÿ âåéâëåò-êîýôôèöèåíòîâ
w(a, b) ñîîòâåòñòâóþ ò ðàâíûì àìïëèòóäàì ïóëüñàöèé ñèãíàëà, íåçàâèñèìî
îò ìàñø òàáà ïóëüñàöèé.
       Âåéâëåò-îáðàç w(a, b) ôóíêöèè f (t ) ìîæíî âûðàçèòü è ÷åðåç åå ôóðüå-
îáðàç f?(w ) . Äåéñòâèòåëüíî,
                                               ¥ ¥
                              )                   )
                                               òòy (aw )w(a ,b)e
                                        1                                             dadb
                              f (w ) =                                       - iw b
                                                                                             ,                          (6.53)
                                       Cy       0 -¥
                                                                                      a 2+ k
à
                                          ¥
                                   a k+ 1 )*       )
                    w( a ,b ) =         2 ò
                                            y (aw )f ( w )e ibw dw .                                                    (6.54)
                                   4p - ¥

     Ï îëüçóÿñü ñîîòíîø åíèÿìè (6.53)-(6.54) è òåîðåìîé Ï àðñåâàëÿ (2.26)
íåñëîæíî ïîëó÷èòü àíàëîãýòîé òåîðåìû äëÿ âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ
                    ¥                                ¥ ¥
                                               1                                            dadb
                    òf1( t ) f 2 ( t )dt =           òòw ( a ,b )w                                  ,                   (6.55)
                               *                                         *
                                                                             ( a ,b )
                                                                                            a 3+ 2k
                                                 2          1        2
                    -¥                        Cy     0 -¥



èç êîòîðîãî, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò
                    ¥                           ¥                                     ¥ ¥
                                         1                           1                                      dadb
                    ò  | f ( t ) | dt =        ò  | ?f ( w ) |2 dw = 2                òò| w ( a , b ) |             .   (6.56)
                               2                                                                        2

                    -¥
                                        4p 2   -¥                   Cy                0 -¥
                                                                                                            a 3+ 2k

Í àïîìíèì, ÷òî â ôóðüå-àíàëèçå ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ÿâëÿåò-
ñÿ âåëè÷èíà E (w ) =| f?(w ) | 2 (íàçûâàåìàÿ òàêæå ñïåêòðîì ýíåðãèè) è ââåäåì
âåëè÷èíó
                                         ¥
                             M (a ) = ò| w(a, b) | 2 db ,                                                               (6.57)
                                         -¥



êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò èíòåíñèâíîñòü âñåõ ïóëüñàöèé çàäàííîãî ìàñø òàáà.
Åñëè â îïðåäåëåíèè âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëîæèòü k = - 1 / 2 , òî ôîðìó-
ëó (6.56) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

Страницы