Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

95
èìóùåñòâî âîññòàíîâëåíèÿ ïî ôîðìóëå (6.59) ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíà ïîçâî-
ëÿåò èñïîëüçîâàòü íà îäíîì èç ýòàïîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèíãóëÿðíóþ ôóíê-
öèþ (íàïðèìåð,
d
- ôóíêöèþ), êîòîðàÿ ñàìà ïî ñåáå íå ïîïàäàåò ïîä îïðå-
äåëåíèå âåéâëåòà.
6.5. Äèñêðåòíîå âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå
Íàðÿäó ñ íåïðåðûâíûì âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèåì ìîæíî ðàññìîòðåòü
ðàçëîæåíèå ïî êîíå÷íîìó íàáîðó âåéâëåò-ôóíêöèé, çàäàííûõ íà íåêîòî-
ðîé ñåòêå è ïîëó÷àåìûõ îïðåäåëåííûì ìàñøòàáíûì ïðåîáðàçîâàíèåì.
Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ ëîãàðèôìè÷åñêèì ìàñøòàáèðîâàíèåì è ðàâíîìåðíîé
äëÿ çàäàííîãî ìàñøòàáà ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòêîé, òî îäíîìåðíóþ áà-
çèñíóþ ôóíêöèþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
M
M
Mm
a
mbax
yy ,
äëÿ êîòîðîãî äîêàçàíà âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ ïîëíîãî îðòîãîíàëüíîãî
ôóíêöèîíàëüíîãî áàçèñà. Ïîñëåäíåå âîçìîæíî íå ïðè ëþáîì âûáîðå
çíà÷åíèé âåëè÷èí
a
è b . Íàèáîëåå åñòåñòâåííûì ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðè-
íÿòîå è â èåðàðõè÷åñêèõ ìîäåëÿõ ðàçáèåíèå ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàí-
ñòâà íà îêòàâû, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ 2
=
a .
Äëÿ îäíîìåðíîé ôóíêöèè )(xf ñîîòâåòñòâóþùåå ðàçëîæåíèå â ðÿä
âûãëÿäèò êàê
( )
( )
å å
¥
¥=
¥
-¥=
×-=
M m
M
MMm
mxwxf 2y
, (6.60)
ãäå
( )
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
-
M
M
M
x
x
2
2
2
yy .
Çäåñü è äàëåå â äàííîì ïàðàãðàôå ïðèíÿòà íîðìèðîâêà 2/1
-
=
k
è äëÿ óäîá-
ñòâà çàïèñè ýòà íîðìèðîâêà âêëþ÷åíà â îïðåäåëåíèå âåéâëåòà.
Çàäà÷à î âûáîðå ôóíêöèè
(
)
xy , îáåñïå÷èâàþùåé îðòîãîíàëüíîñòü
ðàçëîæåíèÿ (6.60), ò.å. ñîáëþäåíèå óñëîâèÿ
( ) ( )
ò
¥
¥-
=×-×-
nmNM
N
N
M
M
dxnxmx ddyy 22 (6.61)
äàëåêî íå òðèâèàëüíà è áûëà ðåøåíà ëèøü íåäàâíî (È.Ìåéåð,1986;
È.Äîáåøè, 1988). Óñëîâèÿì (6.59)-(6.61) ñîîòâåòñòâóþò, ïðàâäà, è äàâíî
                                                                                         95



èìóù åñòâî âîññòàíîâëåíèÿ ïî ôîðìóëå (6.59) ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíà ïîçâî-
ëÿåò èñïîëüçîâàòü íà îäíîì èç ýòàïîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèíãóëÿðíóþ ôóíê-
öèþ (íàïðèìåð, d- ôóíêöèþ ), êîòîðàÿ ñàìà ïî ñåáå íå ïîïàäàåò ïîä îïðå-
äåëåíèå âåéâëåòà.




6.5. Äèñêðåòíîå âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèå

   Í àðÿäó ñ íåïðåðûâíûì âåéâëåò-ïðåîáðàçîâàíèåì ìîæíî ðàññìîòðåòü
ðàçëîæåíèå ïî êîíå÷íîìó íàáîðó âåéâëåò-ôóíêöèé, çàäàííûõ íà íåêîòî-
ðîé ñåòêå è ïîëó÷àåìûõ îïðåäåëåííûì ìàñø òàáíûì ïðåîáðàçîâàíèåì.
Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ ëîãàðèôìè÷åñêèì ìàñø òàáèðîâàíèåì è ðàâíîìåðíîé
äëÿ çàäàííîãî ìàñø òàáà ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòêîé, òî îäíîìåðíóþ áà-
çèñíóþ ôóíêöèþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
                                                   æ x - mba M             ö
                                       y   Mm   =y ç
                                                   ç aM                    ÷
                                                                           ÷,
                                                   è                       ø

äëÿ êîòîðîãî äîêàçàíà âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ ïîëíîãî îðòîãîíàëüíîãî
ôóíêöèîíàëüíîãî áàçèñà. Ï îñëåäíåå âîçìîæíî íå ïðè ëþáîì âûáîðå
çíà÷åíèé âåëè÷èí a è b . Í àèáîëåå åñòåñòâåííûì ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðè-
íÿòîå è â èåðàðõè÷åñêèõ ìîäåëÿõ ðàçáèåíèå ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàí-
ñòâà íà îêòàâû, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ a = 2 .
      Äëÿ îäíîìåðíîé ôóíêöèè f (x) ñîîòâåòñòâóþ ù åå ðàçëîæåíèå â ðÿä
âûãëÿäèò êàê
                                                                   (x -         )
                                           ¥    ¥
                            f ( x )=   å åw           Mm   y   M          m ×2 M ,   (6.60)
                                       M =¥ m = - ¥

ãäå
                                                          M
                                                      -         æ x ö
                                  y    M   (x)= 2         2
                                                              y ç M ÷.
                                                                è2 ø

Çäåñü è äàëååâ äàííîì ïàðàãðàôå ïðèíÿòà íîðìèðîâêà k = - 1 / 2 è äëÿ óäîá-
ñòâà çàïèñè ýòà íîðìèðîâêà âêëþ ÷åíà â îïðåäåëåíèå âåéâëåòà.
      Çàäà÷à î âûáîðå ôóíêöèè y ( x ), îáåñïå÷èâàþ ù åé îðòîãîíàëüíîñòü
ðàçëîæåíèÿ (6.60), ò.å. ñîáëþ äåíèå óñëîâèÿ
                   ¥

                   òy (x -
                   -¥
                        M     m ×2 M y     ) (x -
                                                N                  )
                                                          n ×2 N dx = dNM dnm        (6.61)


äàëåêî íå òðèâèàëüíà è áûëà ðåø åíà ëèø ü íåäàâíî (È .Ì åéåð,1986;
È .Äîáåø è, 1988). Óñëîâèÿì (6.59)-(6.61) ñîîòâåòñòâóþò, ïðàâäà, è äàâíî

Страницы