Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

97
Áîëåå ïîäðîáíî ïðîöåäóðó ïîñòðîåíèÿ äèñêðåòíîãî âåéâëåò-
ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå àëãîðèòìà Ìàëëà ñ ïåðåìåííûì
ðàçðåøåíèåì (multiresolution wavelet algorithm), êîòîðûé ïîñëåäîâàòåëüíî
âû÷èñëÿåò êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ, ïåðåõîäÿ îò ìåíüøèõ ìàñøòàáîâ ê
áîëüøèì.
Ïóñòü èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ
(
)
xf ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó èíòåãðèðóå-
ìûõ â êâàäðàòå ôóíêöèé
(
)
RL
2
. Îáîçíà÷èì ïîäïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, àï-
ïðîêñèìèðóþùèõ
(
)
RL
2
ñ ðàçðåøåíèåì
M
M
a 2= êàê
M
V . Ïðè ýòîì
MM
VV Ì
+1
.
Ïîñòðîåíèå íà÷èíàåòñÿ ñ ðàçðåøåíèÿ
(
)
01
0
== Ma . Îòìåòèì, ÷òî â
îòëè÷èå îò èåðàðõè÷åñêèõ ìîäåëåé çäåñü óâåëè÷åíèþ èíäåêñà
M
ñîîòâåòñòâóåò ïåðåõîä ê áîëüøèì ìàñøòàáàì (áîëåå ãðóáîìó ðàç-
ðåøåíèþ). Îáîçíà÷àåì çà
M
f ñîîòâåòñòâóþùóþ àïïðîêñèìàöèþ ôóíêöèè
f . Íà ïðàêòèêå ôóíêöèÿ
0
f ñ òî÷íîñòüþ äî çàäàííîé ïîãðåøíîñòè ñîâ-
ïàäàåò ñ f è ñëóæèò èñõîäíîé äëÿ íà÷àëà âû÷èñëåíèé.
Ïðåäïîëàãàåì íàëè÷èå áàçèñíûõ ôóíêöèé
(
)
ix -
0
f , êîòîðûå òîëüêî
ïóòåì ñäâèãà âäîëü îñè ñîçäàþò ïîëíûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â
ïðîñòðàíñòâå
0
V
( ) ( )
å
¥
-¥=
-=
i
i
ixsxf
000
f
, (6.64)
ãäå
0
i
s - êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ
( ) ( ) ( )
dxixxfxs
i
ò
¥
¥-
-=
00
0
f . (6.65)
(
)
xf - áûñòðî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, ÷òî ïîçâîëÿåò èíòåðïðåòèðîâàòü êî-
ýôôèöèåíòû
0
i
s êàê äèñêðåòíóþ âûáîðêó ôóíêöèè
0
f ñ ðàçðåøåíèåì íà
ñåòêå ñ øàãîì 1
=
a . Óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè åñòü
( ) ( )
ò
¥
¥-
=--
ij
dxjxix dff
00
. (6.66)
Ïðè ïåðåõîäå ê áîëåå ãðóáîìó ðàçðåøåíèþ
M
M
a 2= èñïîëüçóåòñÿ ïðî-
ñòðàíñòâî
M
V , îïèñûâàþùååñÿ áàçèñîì
M
f , ôóíêöèè êîòîðîãî ïîëó÷à-
þòñÿ ðàñòÿæåíèåì èñõîäíîé ôóíêöèè
0
f
( )
( )
xx
M
M
M -
-
= 22
0
2
ff . (6.67)
Äèñêðåòíàÿ âûáîðêà ôóíêöèè
(
)
xf
0
ñ ðàçðåøåíèåì
M
M
a 2= åñòü íàáîð êî-
ýôôèöèåíòîâ
M
i
s
( )
( )
dxixxfs
MM
M
i
ò
¥
¥-
-= 2
0
f . (6.68)
Ïîñêîëüêó
MM
VV Ì
+1
, òî áàçèñíûå ôóíêöèè ìàñøòàáà
1
+
M
ìîæíî âûðà-
çèòü ÷åðåç áàçèñ ìàñøòàáà
M
:
                                                                                                  97



       Áîëåå ïîäðîáíî ïðîöåäóðó ïîñòðîåíèÿ äèñêðåòíîãî âåéâëåò-
ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå àëãîðèòìà Ì àëëà ñ ïåðåìåííûì
ðàçðåø åíèåì (multiresolution wavelet algorithm), êîòîðûé ïîñëåäîâàòåëüíî
âû÷èñëÿåò êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ, ïåðåõîäÿ îò ìåíüø èõ ìàñø òàáîâ ê
áîëüø èì.
       Ï óñòü èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ f ( x )ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó èíòåãðèðóå-
ìûõ â êâàäðàòå ôóíêöèé L2 (R ). Îáîçíà÷èì ïîäïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, àï-
ïðîêñèìèðóþ ù èõ L2 (R ) ñ ðàçðåø åíèåì a M = 2 M êàê V M . Ï ðè ýòîì V M + 1 Ì V M .
       Ï îñòðîåíèå íà÷èíàåòñÿ ñ ðàçðåø åíèÿ a 0 = 1 (M = 0). Îòìåòèì, ÷òî â
îòëè÷èå îò èåðàðõè÷åñêèõ ìîäåëåé çäåñü óâåëè÷åíèþ èíäåêñà
M ñîîòâåòñòâóåò ïåðåõîä ê áîëüø èì ìàñø òàáàì (áîëåå ãðóáîìó ðàç-
ðåø åíèþ ). Îáîçíà÷àåì çà f M ñîîòâåòñòâóþ ù óþ àïïðîêñèìàöèþ ôóíêöèè
 f . Í à ïðàêòèêå ôóíêöèÿ f 0 ñ òî÷íîñòüþ äî çàäàííîé ïîãðåø íîñòè ñîâ-
ïàäàåòñ f è ñëóæèò èñõîäíîé äëÿ íà÷àëà âû÷èñëåíèé.
       Ï ðåäïîëàãàåì íàëè÷èå áàçèñíûõ ôóíêöèé f0 ( x - i ), êîòîðûå òîëüêî
ïóòåì ñäâèãà âäîëü îñè ñîçäàþò ïîëíûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â
ïðîñòðàíñòâå V0
                                                            ¥
                                   f 0 ( x) =           å s f (x - i ),
                                                                     0
                                                                     i
                                                                         0
                                                                                              (6.64)
                                                        i =- ¥

ãäå si0 - êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ
                                                        ¥
                                  si ( x) =             òf (x)f (x - i )dx .                  (6.65)
                                       0                         0           0

                                                        -¥

f( x ) - áûñòðî óáûâàþ ù àÿ ôóíêöèÿ, ÷òî ïîçâîëÿåò èíòåðïðåòèðîâàòü êî-
ýôôèöèåíòû si0 êàê äèñêðåòíóþ âûáîðêó ôóíêöèè f 0 ñ ðàçðåø åíèåì                                 íà
ñåòêå ñø àãîì a = 1 . Óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè åñòü
                                   ¥

                                   òf (x - i )f (x - j )dx = d .                              (6.66)
                                           0                     0
                                                                                      ij
                                  -¥



Ï ðè ïåðåõîäå ê áîëåå ãðóáîìó ðàçðåø åíèþ a M = 2 M èñïîëüçóåòñÿ ïðî-
ñòðàíñòâî V M , îïèñûâàþ ù ååñÿ áàçèñîì fM , ôóíêöèè êîòîðîãî ïîëó÷à-
þ òñÿðàñòÿæåíèåì èñõîäíîé ôóíêöèè f0
                                                                 M
                                  f    M
                                           ( x)= 2
                                                             -
                                                                 2
                                                                         (
                                                                     f0 2 - M x .)            (6.67)

Äèñêðåòíàÿ âûáîðêà ôóíêöèè f 0 ( x ) ñ ðàçðåø åíèåì a M = 2 M åñòü íàáîð êî-
ýôôèöèåíòîâ siM
                                                   ¥
                                               =   òf (x )f (x -                      )
                                                                                 2 M i dx .   (6.68)
                                       M                     0           M
                                  si
                                                   -¥

Ï îñêîëüêó V M + 1 Ì V M , òî áàçèñíûå ôóíêöèè ìàñø òàáà M + 1 ìîæíî âûðà-
çèòü ÷åðåç áàçèñ ìàñø òàáà M :

Страницы