Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

98
( ) ( ) ( ) ( )
å
ò
¥
-¥=
¥
¥-
++++
-
ú
û
ù
ê
ë
é
¢
-
¢
-
¢
=-
j
MMMMMMMM
jxxdjxixix 2222
1111
ffff
(6.69)
èëè
( ) ( )
å
¥
-¥=
-
++
-=-
j
MM
ij
MM
jxhix 22
2
11
ff , (6.70)
ãäå
( )
ò
¥
¥-
-
¢
-
¢
÷
ø
ö
ç
è
æ
¢
= xdkx
x
h
k
00
2
1
2
2 ff . (6.71)
Èç (6.69)-(6.70) ñëåäóåò, ÷òî êîýôôèöèåíòû
1+M
s ìîæíî îïðåäåëèòü, èñïîëü-
çóÿ òîëüêî êîýôôèöèåíòû
M
s :
å
¥
-¥=
-
+
=
j
M
jij
M
i
shs
2
1
. (6.72)
Ïåðåõîä îò
M
s ê
1+M
s ñîîòâåòñòâóåò î÷åðåäíîìó îãðóáëåíèþ èñõîäíûõ
äàííûõ ïóòåì èõ âûáîðêè èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
M
s ñ âåñîâîé ôóíêöèåé
h . C óâåëè÷åíèåì ÷èñëà òî÷åê êîëè÷åñòâî îïåðàöèé ðàñòåò òîëüêî ãåî-
ìåòðè÷åñêè è (6.71)-(6.72) ìîæåò ñëóæèòü îñíîâîé áûñòðîãî âåéâëåò-
ïðåîáðàçîâàíèÿ (ÁÏÂ, ïî àíàëîãèè ñ áûñòðûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå -
ÁÏÔ).
Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèè
1+M
f íå ìîãóò áûòü îðòîãîíàëüíûìè
ôóíêöèÿì
M
f , òàê êàê îáðàçóåìîå èìè ïðîñòðàíñòâî
1+M
V ñîäåðæèòñÿ â
ïðîñòðàíñòâå
M
V . Îñíîâíàÿ èäåÿ àëãîðèòìà ÁÏÂ ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè
âåéâëåò-áàçèñà ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ ðàçíîñòè èíôîðìàöèè, ñîäåðæàùåéñÿ
â ðàçëè÷íûõ ìàñøòàáàõ. Ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîñòðàíñòâî îáîçíà÷àåòñÿ êàê
1+M
O .
1+M
O îðòîãîíàëüíî
(
)
111 +++
^
MMM
VOV , à
1+M
O è
1+M
V ñîñòàâëÿþò
(
)
MMMM
VVOV =Å
++ 11
. Âåéâëåò
(
)
ix
MM 11
2
++
-y îïðåäåëÿåòñÿ êàê áàçèñíàÿ ôóíê-
öèÿ äëÿ ïðîñòðàíñòâà
1+M
O . Ïðè ýòîì îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì ñîîòíîøå-
íèå òèïà (6.67):
( )
( )
xx
M
M
M -
-
= 22
0
2
yy , (6.73)
ïðåäïîëàãàþùåå, ÷òî ñîâîêóïíîñòü ôóíêöèé
1+M
y îáðàçóåò îðòîíîðìàëü-
íûé áàçèñ â
1+M
O . Òîãäà ñîâîêóïíîñòü âñåõ
(
)
K2,1,0=M
M
y îáðàçóåò ïîëíûé
îðòîãîíàëüíûé áàçèñ äëÿ
0
V .
Êîýôôèöèåíòû âåéâëåò-ðàçëîæåíèÿ åñòü
( )
( )
dxmxxfw
MM
M
i
ò
¥
¥-
-= 2
0
y , (6.74)
98




                                                 ¥   é¥ M + 1                        ù M
                 fM + 1 (x - 2 M + 1 i ) =    å      ê òf (x ¢- 2 i )f (x ¢- 2 j )dx¢úf (x - 2 j )
                                                                 M+1  M       M               M
                                                                                                                                   (6.69)
                                             j = - ¥ ë- ¥                            û
èëè
                                      fM + 1 (x - 2 M + 1 i )=                                                  fM (x - 2 M j ),
                                                                                          ¥

                                                                                         åh
                                                                                         j=- ¥
                                                                                                       j - 2i                      (6.70)
ãäå
                                                          1 ¥
                                                      -            æ x ¢ö
                                      hk = 2                   òf çè 2 ÷øf (x¢- k )dx ¢.                                           (6.71)
                                                          2             0                  0

                                                               -¥



È ç(6.69)-(6.70) ñëåäóåò, ÷òî êîýôôèöèåíòû s M+ 1 ìîæíî îïðåäåëèòü, èñïîëü-
çóÿ òîëüêî êîýôôèöèåíòû s M :
                                                                                 ¥
                                                          siM + 1 =             åh
                                                                                j =- ¥
                                                                                              j - 2i   s Mj .                      (6.72)


Ï åðåõîä îò s M ê s M + 1 ñîîòâåòñòâóåò î÷åðåäíîìó îãðóáëåíèþ èñõîäíûõ
äàííûõ ïóòåì èõ âûáîðêè èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè s M ñ âåñîâîé ôóíêöèåé
h . C óâåëè÷åíèåì ÷èñëà òî÷åê êîëè÷åñòâî îïåðàöèé ðàñòåò òîëüêî ãåî-
ìåòðè÷åñêè è (6.71)-(6.72) ìîæåò ñëóæèòü îñíîâîé áûñòðîãî âåéâëåò-
ïðåîáðàçîâàíèÿ (ÁÏ Â, ïî àíàëîãèè ñ áûñòðûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ô óðüå -
ÁÏ Ô ).
        Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèè fM + 1                        íå ìîãóò áûòü îðòîãîíàëüíûìè
ôóíêöèÿì f , òàê êàê îáðàçóåìîå èìè ïðîñòðàíñòâî V M + 1 ñîäåðæèòñÿ â
                     M


ïðîñòðàíñòâå V M . Îñíîâíàÿ èäåÿ àëãîðèòìà ÁÏ Â ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè
âåéâëåò-áàçèñà ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ ðàçíîñòè èíôîðìàöèè, ñîäåðæàù åéñÿ
â ðàçëè÷íûõ ìàñø òàáàõ. Ñîîòâåòñòâóþ ù åå ïðîñòðàíñòâî îáîçíà÷àåòñÿ êàê
OM + 1 . OM + 1 îðòîãîíàëüíî V M + 1 (OM + 1 ^ V M + 1 ), à OM + 1 è V M + 1 ñîñòàâëÿþ ò
V M (OM + 1 Å V M + 1 = V M ). Âåéâëåò y M + 1 (x - 2 M + 1 i ) îïðåäåëÿåòñÿ êàê áàçèñíàÿ ôóíê-
öèÿ äëÿ ïðîñòðàíñòâà OM + 1 . Ï ðè ýòîì îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì ñîîòíîø å-
íèåòèïà (6.67):
                                                                        M
                                      y   M
                                                 ( x)= 2
                                                                    -
                                                                        2
                                                                            y    0
                                                                                     (2   -M
                                                                                                  x,   )                           (6.73)

ïðåäïîëàãàþ ù åå, ÷òî ñîâîêóïíîñòü ôóíêöèé y M + 1 îáðàçóåò îðòîíîðìàëü-
íûé áàçèñ â OM + 1 . Òîãäà ñîâîêóïíîñòü âñåõ y M (M = 0,1,2K) îáðàçóåò ïîëíûé
îðòîãîíàëüíûé áàçèñ äëÿ V0 .
     Êîýôôèöèåíòû âåéâëåò-ðàçëîæåíèÿ åñòü
                                                          ¥
                                                  =       òf (x )y (x -                                2 M m dx ,  )               (6.74)
                                             M                      0                M
                                       wi
                                                          -¥

Страницы