ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

102
[]
),()cos()(
)()(Re)()(Re
)()(Re)()Re()()(
0
0
1
0
1
)(
0
1
)(
0
tvtG
tvGtvkg
tvkgtvkgty
i
iti
k
kiti
k
kti
k
kti
++=
=+⋅=+⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=+⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=+⋅=
∑
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
ϕωα
αα
αα
ω
ωωωω
ωω
l
llll
ll
(5.64)
где
[
]
ϕ
ω
= arg ( )G
i
0
l . (5.65)
Здесь arg(z) - аргумент комплексного числа z.
В связи с присутствием в (5.64) шумовой составляющей v(t) точное опреде-
ление
G
i
0
()l
ω
и
ϕ
графическими методами может быть затруднительным. По-
скольку интересующая нас составляющая выходной переменной y(t) является ко-
синусоидальной функцией известной частоты, возможен следующий корреляци-
онный способ устранения шума. Образуем суммы
IN
N
yt t
IN
N
yt t
c
t
N
s
t
N
() ()cos( ),
() ()sin( ).
=
=
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
=
=
∑
∑
1
1
1
1
ω
ω
(5.66)
Подставляя (5.64) в (5.66), получаем
IN G G
N
t
N
vt t
c
ii
t
N
t
N
() ( )cos() ( ) cos( )
() cos( ).
=+ ++
+⋅
=
=
∑
∑
α
ϕα ωϕ
ω
ωω
2
1
2
2
1
00
1
1
ll
(5.67)
Второе слагаемое в (5.67) стремится к нулю при N → ∞. Также стремится к нулю
третье слагаемое, если v(t) не содержит число периодической составляющей час-
тоты
ω
.
Аналогично
IN G G
N
t
N
vt t
s
ii
t
N
t
N
() ( )sin() ( ) sin( )
() sin( ).
=− + + +
+⋅
=
=
∑
∑
α
ϕα ωϕ
ω
ωω
2
1
2
2
1
00
1
1
ll
(5.68)
Выражения (5.67), (5.68) приводят к следующим оценкам величин
G
i
0
()l
ω
и
ϕ
:
$
()
() ()
G
IN IN
N
i
cS
l
ω
α
=
+
22
2
, (5.69)
[]
$
arg
$
()
()
()
YG arctg
IN
IN
NN
i
s
c
==
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
l
ω
. (5.70)
Повторяя процедуру для нескольких частот, можно получить хорошую картину
изменения G
i
0
()l
ω
в интересующей области частот. Основным недостатком явля-
ется то, что многие промышленные процессы не позволяют использовать сину-
соидальное входное воздействие в режиме нормальной работы. Кроме того, необ-
                ∞
                                                               ⎡∞                        ⎤
      y (t ) = ∑ g 0 (k ) Re(l iω ( t − k ) ) ⋅ α + v(t ) = Re ⎢∑ g 0 (k )l iω ( t − k ) ⎥ ⋅ α + v(t ) =
               k =1                                            ⎣ k =1                    ⎦
             ⎡                      ⎤
                                                            [                ]
                     ∞
      = Re ⎢l iωt ∑ g 0 (k )l −iωk ⎥ ⋅ α + v(t ) = Re l iωt G0 (l iω ) ⋅ α + v(t ) =                       (5.64)
             ⎣      k =1            ⎦
      = α G0 (l iω ) cos(ωt + ϕ ) + v(t ),
где
                                               ϕ = arg[G0 ( l iω )] .                                      (5.65)
Здесь arg(z) - аргумент комплексного числа z.
       В связи с присутствием в (5.64) шумовой составляющей v(t) точное опреде-
ление G0 ( l iω ) и ϕ графическими методами может быть затруднительным. По-
скольку интересующая нас составляющая выходной переменной y(t) является ко-
синусоидальной функцией известной частоты, возможен следующий корреляци-
онный способ устранения шума. Образуем суммы
                                          1 N                  ⎫
                               I c ( N ) = ∑ y (t ) cos(ωt ),⎪
                                          N t =1               ⎪
                                             N                 ⎬             (5.66)
                                          1                    ⎪
                               I s ( N ) = ∑ y (t ) sin(ωt ).
                                          N t =1               ⎪⎭
Подставляя (5.64) в (5.66), получаем
                α                                     1 N
                      iω
    I c ( N ) = G0 ( l ) cos(ϕ ) + α G0 ( l )
                2
                                               iω
                                                         ∑ cos(2ωt + ϕ ) +
                                                    2 N t =1
                                                                             (5.67)
         1 N
    + ∑ v (t ) ⋅ cos(ωt ).
        N t =1
Второе слагаемое в (5.67) стремится к нулю при N → ∞. Также стремится к нулю
третье слагаемое, если v(t) не содержит число периодической составляющей час-
тоты ω.
         Аналогично
                  α                                    1 N
    I s ( N ) = − G0 ( l iω ) sin(ϕ ) + α G0 ( l iω )
                  2
                                                           ∑ sin(2ωt + ϕ ) +
                                                      2 N t =1
                                                                             (5.68)
         1 N
    + ∑ v (t ) ⋅ sin(ωt ).
        N t =1
Выражения (5.67), (5.68) приводят к следующим оценкам величин G0 ( l iω ) и ϕ :
                                                        I c2 ( N ) + I S2 ( N )
                                     G$ N ( l iω ) =                              ,                        (5.69)
                                                                    α
                                                                    2
                                                          ⎛ I (N )⎞
                                                 [
                           Y$N = arg G$ N ( l iω ) = arctg⎜ s   ]   ⎟.
                                                          ⎝ Ic ( N )⎠
                                                                       (5.70)

Повторяя процедуру для нескольких частот, можно получить хорошую картину
изменения G0 ( l iω ) в интересующей области частот. Основным недостатком явля-
ется то, что многие промышленные процессы не позволяют использовать сину-
соидальное входное воздействие в режиме нормальной работы. Кроме того, необ-



                                                                                                                    102

Страницы