ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 104 стр.

                                   ⎡ u(T1) ⎤ ⎡ u K u K u                         ⎤
                                   ⎢          ⎥ ⎢ 1(1)           j (1)     m (1)
                                                                                 ⎥
                                   ⎢K ⎥ ⎢K                                       ⎥
                                   ⎢ T ⎥ ⎢
                              U = ⎢ u( μ ) ⎥ = u1( μ )KKK um( μ ) ⎥ .                                (5.78)
                                                 ⎢                               ⎥
                                   ⎢K ⎥ ⎢K                                       ⎥
                                   ⎢ T ⎥ ⎢                                       ⎥
                                   ⎢⎣ u( r ) ⎥⎦ ⎢⎣ u1( r ) KKKK um( r ) ⎥⎦
        Следовательно, система уравнений (5.76) может быть записана в векторной
форме:
                                                   X=U⋅a.                                            (5.79)
        Предполагая, что компоненты вектора a в уравнении (5.79) являются оцен-
       )
       a
ками истинного вектора a, можно с помощью уравнения (5.79) получить такие
оценки X$ вектора X, что
                                                    X$ = U ⋅ a$ .                                    (5.80)
Скалярную сумму S квадратических ошибок оценивания можно определить сле-
дующим образом:
                      S = ( X − Ua$ ) T ( X − Ua$ ) = tr[( X − Ua$ ) T ( X − Ua$ )] ,                (5.81)
где tr[...] обозначает след матрицы [...]. Таким образом, наилучшая (в смысле наи-
меньших квадратов) оценка вектора a должна удовлетворять соотношению
                                          ∂S
                                               = 0 , ∀i ∈ (1, m) ,                                   (5.82)
                                         ∂a$i
или в векторной форме
∂S ∂tr[( X − Ua$ )( X − Ua$ ) ] ∂tr[ XX + Uaa               $ $ T U T − UaX   $ T − Xa$ T U T ]
                                T                 T

     =                             =                                                            = 0. (5.83)
 ∂a$              ∂a$                                                  ∂a$
Уравнение (5.83) преобразуется к виду
     ∂tr[ XX T + Uaa             $ T − Xa$ T U T ]
                   $ $ T U T − UaX
                                                         = 0 + 2 U T Ua$ − U T X − U T X =
                          ∂a$                                                                        (5.84)
     = 2( U Ua$ − U X) = 0.
            T         T

                                                                             *
Поэтому наилучшая в смысле наименьших квадратов оценка a$ вектора a удов-
летворяет уравнению
                                U T Ua$* = U T X ,                             (5.85)
так что
                                                          [               ]T
                        a$* = (U T U ) −1 U T X = a$1* , a$ 2* ,..., a$ m* ,   (5.86)
что и позволяет построить процедуру идентификации вектора a на основе линей-
ной регрессии и метода наименьших квадратов. Отметим, что матрица (UTU)-1 су-
ществует только тогда, когда матрица U не является особой.
        Для применения метода наименьших квадратов должно выполнятся усло-
вие
r >> m.




                                                                                                      104